2.2.2 反证法教学设计第一课时

反证法

课型

新授课

结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；教学目标

了解反证法的思考过程与特点

教学重点：

重点

难点

教具

准备

了解反证法的思考过程与特点

教学难点：

正确理解、运用反证法

多媒体

教学过程与教学内容

（一）情景引入

路边苦李：王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？

王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.————引出课题：反证法

（二）探究新课

探究点1 反证法的定义

引例：已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.

证明：由于a≠0,因此方程至少有一个根课时

安排

2 教学方法、教学手段与学法、学情

课题

b

xa,是它的两个不同的根，

如果方程不只一个根，不妨设即

x1x2

ax1ax2

=b,

(1)

=b.

(2)

(1)-(2)，得

=0.

12

因为,所以≠0，所以应有

1212

a=0，这与已知矛盾，故假设错误.

所以,a≠0时，方程ax=b有且只有一个根

先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已知的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确.

这种证明方法就是——反证法

定义;反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的

假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而

否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为

归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只

一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)

归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互

为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行

于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)

ax-xxxx-x[来源:Z|xx|k.Com]

[来源学§科§网Z§X§X§K][来源学+科+网]于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n

一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须

从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、

定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

小试牛刀：应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些

作为条件使用(

) ①结论相反判断，即假设

②原命题的结论

[来源:Z*xx*k.Com]

[来源学#科#网Z#X#X#K]

③公理、定理、定义等

④原命题的条件

A．①④

B．①②③

C．①③④

D．②③

探究点2

反证法的应用

在反证法的应用中，准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下

面是一些常见的结论的否定形式.

原词语 否定词 原词语 否定词

等于

是 都是 大于 小于 对所有x,成立

例1

在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。

设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，

任意的

至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 对任何x，

不成立

c的交点为Q，

如图所示，则PMQ00

这样△MPQ的内角和PMQMPQPQM

PMQ9009001800。

这与定理“三角形的内角和等于1800”相矛盾，这说明假设是错误的。

所以直线a与b不相交，即a与b平行。

跟踪训练:角. 例2 求证：2是无理数。

证明：

2不是无理数，即2是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，

设2p，p0，且p,q互素，则p2q.所以2p2q2 ① q

1.如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐故q2是偶数，q也必然为偶数.设q=2k，代入①式，则有2p24k2，即p22k2，

所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。

因此，假设不成立，即“2是无理数”。

总结：宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题

（2）某些定理的逆命题

（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题. （4）关于“唯一性”结论的命题

（5）解决整除性问题. （6）一些不等量命题的证明

（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段

（8）涉及各种“无限”结论的命题等. （四）当堂检测

1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是(

) A.a

C.a=b D.a≥b 2.实数a,b,c不全为0等价于(

) A.a,b,c均不为0 B.a,b,c中至多有一个为0 C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大

于60°”时,反设正确的是(

) A.假设三内角都不大于60°

B.假设三内角都大于60°

C.假设三内角至多有一个大于60°

D.假设三内角至多有两个大于60°

4．如果两个实数之和为正数，则这两个数(

) A．一个是正数，一个是负数

B．两个都是正数

C．至少有一个正数

D．两个都是负数

5.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误; ②所以一个三角形不能有两个直角; ③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°. 上述步骤的正确顺序为________(填序号). 6.已知p3+q3=2,求证p+q≤2 （五）小结：反证法的证题步骤是：（1）作出否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾；（3）否定假设，肯定结论。

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命

题的正确，从而肯定原命题真实.

注：结合准备题分析以上知识。

反证法的适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

（六）作业：

1课本P43练习2，P44习题3 2思考题：若a10、a11，an1(1)求证：an1an；

(2)令a11，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这22an(n1,2,，)

1an个数列的通项公式an；

(3)证明：存在不等于零的常数p，使{anp}是等比数列，并an求出公比q的值. 解（1）（采用反证法）. 若an1an，即从而2anan, 解得

an1an0，1.

anan1a2a10,1与题设a10,a11相矛盾，

故an1an成立. (2) a11，22n1ann121a223，a345，a48，9a51617, . pan1(2p)anp2an（3）因为an1

又an1an1panpq, an所以(2p2q)anp(12q)0, 因为上式是关于变量an的恒等式，故可解得q1，p1

2

板

书

1 反证法的定义

例1

2 反证法的步骤

例2

练习

教学

反思

反证法的关键是假设结论的方面成立，通过正确的推理得出矛盾，从而肯定原命题的结论成立。