3.1.2 复数的几何意义教案3

3.1.2

复数的几何意义教学设计

一、教学目标

知识目标：理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

能力目标：渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。

情感目标：引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质。

二、教学重点、难点

教学重点：理解复数的几何意义；根据复数的代数形式描出其对应的点及向量；复数模的几何意义。

教学难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量；复数模的几何意义。

三、教学方法：问题启发

四、设计说明

1、微观与宏观：每一节数学课，一方面需要完成具体数学知识、方法等微观教学任务；另一方面，作为整个数学学科教学的一个有机组成部分，同时也肩负着培养学生数学思想，形成数学观，整体认识数学学科等的宏观教学任务。

2、探索与指导：人类对客观世界的认识离不开探索，但所有知识都通过探索去获得是没有必要的。也是不可能的。本课的设计中希望学生在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序。、更有效。

3、兴趣与毅力：兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证。在课的设计中一方面要安排一些有趣、直观、易于理解的内容，另一方面也需要有一定难度的思维训练，因为数学学习不可能是一件十分轻松的事情。

五、教学过程

（一）问题情景

问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？

（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）

问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

实数 一一对应 实数轴上的点

（几何模型）

数

形

问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

（学生猜测，讨论，形成一些共识）

（二）建构数学

1、复平面的概念

把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。

y bZ=a+bi Z(a,b) y

3

2 C

B

Z(a,b) 

oaxA

-2

2、复数的几何意义



1

2

3 x

复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数的向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）

三者的关系如下：

复数

zabi

复平面

平面向量

内的点

OZ

Z（a,b）

（三）数学应用

在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：i，2-2i，（2+i)i，i-1

[巩固练习] （1）“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

（2）、设z=a+bi和复平面内的点Z（a,b）对应，当a,b满足什么条件时，点Z位于：

<1>实轴上？ b=0,a∈R <2>虚轴上（原点除外）？ a=0且b≠0 <3>实轴的上方？ b>0且a∈R <4>虚轴的左方？ a<0且b∈R 变式：第二象限的点表示的复数有何特征？ a<0且b>0 [例题] 例题1：已知复数z=(m2+m－6)+(m2+m－2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. m2m60解：由2mm203m2得m2或m1

m(3,2)(1,2)

变题1:已知复数z=(m2+m－6)+(m2+m－2)i在复平面内所对应的点在直线x－2y+4=0上,求实数m的值.

问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。

（学生讨论，回答，纠正错误，形成共识）

3、复数的模（或绝对值）

向量OZ的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作Z或abi。如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于a（即实数a的绝对值）。

Z=abi=a2b2

[巩固练习] （1）求下列复数的模－5i，－3+4i，5－5i，1+mi(m∈R)，4a－3ai(a＜0) （2）已知复数Z1=3+4i，Z2=-1+5i，试比较它们模的大小。

拓展与延伸：

（3）满足|z|=1(z∈R)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？

（4）设Z∈C，满足2

（四）回顾反思

1、请同学们依据板书顺序回顾课堂全程内容。

2、请同学们谈谈对复数几何意义的认识。

（五）课后提升

已知某个平行四边形的三个顶点所对应的复数分别为2，4+2i， -2+4i，求第四个顶点对应的复数.