2.2.1 综合法和分析法优质教案设计

第一课时

2.2.1

综合法和分析法（一）

三维目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

1. 已知

“若a1,a2R，且a1a21，则114”，试请此结论推广猜想. a1a2111....

n2）

a1a2an（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则2. 已知a,b,cR，abc1，求证：9. 先完成证明

→ 讨论：证明过程有什么特点？

二、讲授新课：

1. 教学例题：

1a1b1c①

出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2

+ b2) > 6abc.

分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）

→

板演证明过程（注意等号的处理）

→ 讨论：证明形式的特点

②

提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示：

要点：顺推证法；由因导果.

③

练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证bcaacbabc3. abc④

出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？

如何转化三角形中边角关系？

→ 板演证明过程

→ 讨论：证明过程的特点.

→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

2. 练习：

①

A,B为锐角，且tanAtanB3tanAtanB3，求证：AB60. （提示：算tan(AB)）

②

已知abc,

求证：114.

abbcac3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.

运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2.

（教材P52 练习

1题）

（两人板演

→ 订正

→ 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）

2. ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：3. 作业：教材P54

A组

1题. 板书设计

课题

知识点

小结

教学反思

例题

练习

113. abbcabc

第二课时

2.2.1

综合法和分析法（二）

三维目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：基本不等式的形式？

2. 讨论：如何证明基本不等式abab(a0,b0). 2

（讨论

→ 板演

→ 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1. 教学例题：

①

出示例1：求证3526.

讨论：能用综合法证明吗？

→ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→ 板演证明过程

（注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？

→ 比较：两种证法

②

提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

框图表示：2

要点：逆推证法；执果索因. 1223133③

练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)(xy).

先讨论方法

→ 分别运用分析法、综合法证明. ④

出示例4：见教材P48.

讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）

⑤

出示例5：见教材P49.

讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为l4ll，截面积为()2，周22l2l)> ()2. 24长为l的正方形边长为，截面积为()2，问题只需证：(l43. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.

（框图示意）

三、巩固练习：

1.

设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab43S. 略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4ab23absinC，

即证：2cosC23sinC，即：3sinCcosC2，即证：sin(C)1（成立）. 2. 作业：教材P52

练习

2、3题. 板书设计

课题

例题

知识点

小结

教学反思

6练习