两个位似图形坐标之间的关系课件配套优秀教案案例

第课时

1.了解用坐标描述位似变换的基本原理,理解以原点为位似中心的坐标变化规律.

2.能利用原点为位似中心的坐标变化规律找出对应点的坐标.

3.能运用位似原理作出位似图形.

1.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.

2.通过总结平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同,进一步理解图形变换的区别.

3.让学生在应用位似知识解决问题的过程中,体验数形结合的思想方法在解题中的应用.

1.使学生亲身经历坐标系下位似变换的基本原理,感受数学学习的应用性和挑战性.

2.经历坐标系下画位似图形的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.

3.进一步体验合作互助及交流能力,感受数学创造的乐趣,增强学好数学的信心.

【重点】

运用坐标系下的位似变换原理作出位似图形.

【难点】

把一个图形放大或缩小后,理解点的坐标变化的规律.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

画两个带网格的平面直角坐标系.

导入一:

【复习提问】

(1)什么是位似图形?位似图形有什么性质?

(2)如何把一个图形放大或缩小?

(3)作位似图形需要注意什么?

【师生活动】

学生思考回答,教师点拨并补充.

导入二:

完成下列作图.

如图所示,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3),B(1,1),C(5,1).

(1)将△ABC向左平移3个单位长度得到△A1B1C1,写出A1,B1,C1的坐标;

(2)写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的三个顶点A2,B2,C2的坐标;

(3)将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3,写出点A3,B3,C3的坐标.

【师生活动】

学生通过平移、对称、旋转的规律回答变化后的坐标,教师点评,导入新课.

[过渡语]

在平面直角坐标系中,可以用坐标表示平移、旋转、对称等变换,类似地,位似作为一种图形变换,也可以用图形坐标之间的关系来表示,这就是我们今天要探究的内容.

[设计意图]

通过复习回顾位似图形的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,以实例回顾平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换的坐标表示,体会数形之间的联系,激发学生探究用坐标规律表示位似的兴趣.

一、

位似图形的坐标

(1)如图所示,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?

(2)如图所示,△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0).以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大.观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?

思路一

【师生活动】

学生在课前准备的坐标系下动手画图,然后小组交流结果.教师在巡视过程中及时关注和提醒学生画出的位似图形是否有两种,对学生展示的结果点评.

观察各对应顶点坐标之间的关系,小组合作交流,师生共同归纳结论.

【问题】

运用这个规律时有什么限制?

一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

思路二

教师引导思考、操作、演示.

(1)在坐标系下画以原点为位似中心的图形,你能画出几个?如何画?(如图所示)

（1）

（2）

(2)在课前准备的坐标系下分别画出位似图形.

(3)图(1)中点A',B'的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?

(利用相似可得点A',B'的横、纵坐标是点A,B的横、纵坐标的)

(4)图(1)中点A″,B″的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?

(利用相似可得点A″,B″的横、纵坐标的绝对值是点A,B的横、纵坐标的)

(5)在图(2)中点A″,C'的横、纵坐标与点A,C的横、纵坐标之间有什么关系?

(6)你能归纳关于原点对称的图形各对应顶点坐标之间的关系吗?

【师生活动】

学生在教师的引导下,画出图形,证明对应顶点之间的关系,最后归纳总结结论,教师引导学生思考,对画图及回答作出点评,然后课件展示图形变化过程中坐标之间的变化,最后师生共同归纳总结结论.

【课件展示】

一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

[设计意图]

学生通过动手操作画出图形,通过观察、讨论,得出以原点为位似中心的图形的对应点之间的坐标规律,学生经历知识的形成过程,体验成功的快乐,增强学习数学的自信心,同时培养学生归纳总结能力,体会从特殊到一般及数形结合在数学中的应用.

二、例题讲解

(教材例题)如图所示,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0),以原点O为位似中心,画一个三角形,使它与△ABO的相似比为.

【思考】

(1)所要画的是三角形,所以解决问题的关键是确定哪些点的坐标?

(2)确定这些点的坐标与已知点的坐标之间有什么关系?如何确定这些点的坐标?

【师生活动】

学生独立思考后,画出图形,小组交流答案,学生展示结果,教师点评.

【追加提问】

你能总结画一个图形以原点为位似中心的位似图形的步骤吗?

学生小组交流,教师补充,归纳画图步骤:

(1)根据以原点为位似中心的图形坐标变化规律,求出各顶点的坐标;

(2)在坐标系下根据各顶点坐标描出各点;

(3)依次连接各顶点可得所求作的图形.

如图所示,正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形,点F的坐标为(-1,1),点C的坐标为(-4,2),求这两个正方形位似中心的坐标.

【教师引导分析】

(1)两个位似图形的特征是什么?

(每对对应点与位似中心共线;对应线段平行或在同一条直线上)

(2)位似中心的位置有几种?哪几种?

(两种,位似中心在位似图形的同侧或异侧)

(3)观察图形,当位似中心在位似图形同侧时,位似中心是不是在特殊直线上?

(DG,AO在x轴上,故位似中心在x轴上)

(4)当位似中心在位似图形同侧时,位似中心还在哪条与已知有关的直线上?

(过对应点C,F所在的直线上或过对应点B,E所在的直线上)

(5)当位似中心在位似图形同侧时,如何求位似中心的坐标?

(求直线CF(或BE)与x轴的交点坐标)

(6)观察图形当位似中心在位似图形异侧时,位似中心在什么位置?

(直线不唯一.直线OC,DE的交点)

(7)当位似中心在位似图形异侧时,如何求位似中心的坐标?

(求直线OC与直线DE的交点坐标,直线不唯一)

解:①当两个位似图形在位似中心同旁时,位似中心就是CF与x轴的交点,

设直线CF的解析式为y=kx+b,将C(-4,2),F(-1,1)代入,得

解得

即y=-x+,令y=0得x=2,

∴位似中心的坐标是(2,0).

②当位似中心在两个正方形之间时,

可求直线OC的解析式为y=-x,直线DE的解析式为y=x+1,

得

解得

即位似中心的坐标为.

∴位似中心的坐标为(2,0)或.

[设计意图]

通过例题,巩固位似图形对应点的坐标之间的关系,让学生感受运用新知识解决问题的简捷性,从而获得成功感;例题2是用坐标描述位似图形的拓展,让学生体会位似中心不在坐标原点的有关计算,开阔了学生视野,加强学生对前后知识之间的联系,体会数形结合思想在数学中的应用.

三、平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同

[过渡语]

我们已经学***移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式,你能在下图所示的图案中找到它们吗?四种变换有什么异同?

【师生活动】

学生小组合作交流后回答,教师对学生的回答点评,观察角度不同,学生的答案也不同.

【四种变换的异同】

图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而图形经过位似变换后,图形是相似的.

[设计意图]

设计开放性的题目让学生回顾思考各种图形变换,并归纳异同,将平移、旋转、轴对称和位似联系,完善认知结构,与课前导入首尾呼应,使教学过程通顺、流畅.

[知识拓展]

(1)以原点为位似中心的位似变换,其对应点的坐标关系可表示为(新图形与原图形的相似比为k):与P(x,y)位于位似中心同侧的对应点P1(kx,ky);

与P(x,y)位于位似中心异侧的对应点P2(-kx,-ky).当k>1时,是将图形扩大;当0

(2)在直角坐标系中,把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换,其对应点的坐标都有各自的变化规律:①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离;②轴对称变换,以x轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数;以y轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.③在旋转变换中,一个图形绕原点旋转180°,则旋转前后两个图形上的对应点的横坐标与纵坐标分别互为相反数;④位似变换中,当以原点为位似中心时,变换前后两个图形上的对应点的横(或纵)坐标之比的绝对值等于相似比.

1.位似变换中对应点坐标的变化规律:一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

2.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同.

1.如图所示,将△ABC的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是(

)

A.(-3,-3)

B.(-3,-4)

C.(-4,-4)

D.(-4,-3)

解析:∵△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,根据位似图形的性质,对应点的连线相交于一点,连接BB1,CC1,交点即是P点,如图所示,∴P点的坐标为(-4,-3).故选D.

2.已知线段AB和CD,依据下列点的坐标,能判断AB和CD是以原点为位似中心的位似图形的是

(

)

A.A(2,3),B(-1,1),C(4,3),D(-2,1)

B.A(1,-5),B(-1,-2),C(1,-10),D(-1,-4)

C.A(-4,5),B(2,-2),C(4,5),D(-2,-2)

D.A(2,0),B(-1,0),C(-4,0),D(2,0)

解析:根据以原点为位似图形的坐标特征,可得C,D点横、纵坐标为A,B点横、纵坐标的同一个倍数的只有D.故选D.

3.如图所示,原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心,点A(1,0)与A1(-2,0)是对应点,△ABC的面积是,则△A1B1C1的面积是

.

解析:∵原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心,点A(1,0)与A1(-2,0)是对应点,∴△ABC和△A1B1C1的相似比为,由相似三角形的面积比等于相似比的平方,得△A1B1C1的面积是×4=6.故填6.

4.如图所示的小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点都在小正方形的顶点上,请完成以下问题.

(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使A(2,3),C(6,2),则B点的坐标为

;

(2)以原点O为位似中心,在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍,画出放大后的△A'B'C'.

解:(1)∵A(2,3),C(6,2),

∴可得如图所示的平面直角坐标系.

∴点B的坐标为(2,1).

(2)∵以原点O为位似中心,在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍,

∴A'(4,6),B'(4,2),C'(12,4),

如图所示.

第2课时

1.位似图形的坐标

2.例题讲解

例1 例2 3.平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同

一、教材作业

【必做题】

教材第51页习题27.3第5题.

【选做题】

教材第52页习题27.3第7题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化,其中属于位似变换的是

(

)

A.将各点的纵坐标乘2,横坐标不变

B.将各点的横坐标乘2,纵坐标不变

C.将各点的横坐标、纵坐标都乘2 D.将各点的纵坐标都减2,横坐标都加2 2.如图所示,在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,将△AOB扩大为原来的2倍,得到△OA'B'.若点A的坐标是(1,2),则点A'的坐标是

(

)

A.(2,4)

B.(-1,-2)

C.(-2,-4)

D.(-2,-1)

3.(2015·武汉中考)如图所示,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为

(

)

A.(2,1)

B.(2,0)

C.(3,3)

D.(3,1)

4.在平面直角坐标系中,已知E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标是

(

)

A.(-2,1)

B.(-8,4)

C.(-8,4)或(8,-4)

D.(-2,1)或(2,-1) 5.如图所示的是△AOB和△COD,它们是位似图形,则△COD与△AOB的相似比是

.

6.△ABO的顶点坐标分别为A(-3,3),B(3,3),O(0,0),试将△AOB缩小为△A'OB',使△A'B'O与△ABO的相似比为1∶2,且A与A'在O点同侧,则A'点的坐标为

,B'点的坐标为

.

7.如图所示,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为

.

【能力提升】

8.某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示),则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是

.

9.如图所示的平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),△AB'O'是△ABO关于A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),则点B'的坐标为

.

10.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).

(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;

(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2;

(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即∶=

(不写解答过程,直接写出结果).

【拓展探究】

11.如图所示的△ABC中,BC=1,AC=2,∠C=90°.

(1)在图(1)中,画△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,且相似比为2∶1;

(2)若将(1)中△A'B'C'称为“基本图形”,请你利用“基本图形”,借助旋转、平移或轴对称变换,在图(2)中设计一个以点O为对称中心,并且以直线l为对称轴的图案.

【答案与解析】

1.C(解析:将各点的纵坐标乘2,横坐标不变,是将图形竖直方向拉伸,将各点的横坐标乘2,纵坐标不变,是将图形水平方向拉伸,图形的形状发生变化,故A,B不属于位似变换;将各点的纵坐标都减2,横坐标都加2,是将图形平移,故D不属于位似变换;将各点的横坐标、纵坐标都乘2,是以坐标原点为位似中心的位似变换.故选C.)

2.C(解析:根据以原点为位似中心的坐标变化规律,可得△AOB扩大为原来的2倍,对应点的坐标为(2,4)或(-2,-4).故选C.)

3.A(解析:∵线段CD和线段AB关于原点位似,∴△ODC∽△OBA,∴==,即==,∴CD=1,OD=2,∴C(2,1).故选A.)

4.D(解析:根据题意得点E的对应点E'的坐标是(-2,1)或(2,-1).故选D.)

5.3∶5(解析:由图可知=,即为两三角形的相似比.故填3∶5.)

6.

(解析:∵△ABO的顶点坐标分别为A(-3,3),B(3,3),O(0,0),△AOB缩小为△A'OB',使△A'B'O与△ABO的相似比为1∶2,且A与A'在O点同侧,∴A'点的坐标为,B'点的坐标为.)

7.(,)(解析:∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,∴OA∶OD=1∶,∵点A的坐标为(1,0),即OA=1,∴OD=,∵四边形ODEF是正方形,∴DE=OD=.∴E点的坐标为(,).故填(,).)

8.(-2a,-2b)(解析:根据题意易得两个图形是以原点O为位似中心的位似图形,且大鱼与小鱼的相似比是2∶1,∴对应点的坐标是(-2a,-2b).故填(-2a,-2b).)

9.(解析:如图所示,过点B作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'F⊥x轴于点F,∵点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),∴==,由题知AE=1,EO=2,BE=3,∴==,∴=,解得AF=.∴EF=,∴FO=2-=.∵=,解得B'F=4,则点B'的坐标为.故填.)

10.解:(1)如图所示的△A1B1C1即为所求.

(2)如图所示的△A2B2C2即为所求.

(3)1∶4

11.解:答案不唯一.(1)如图(1)所示.

(2)如图(2)所示.

通过复习回顾位似图形的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,以实例回顾平移、轴对称、旋转等变换的坐标表示,体会数形之间的联系,激发学生探究用坐标规律表示位似图形的兴趣.本节课的重点是探究位似图形坐标之间的规律,并能应用规律解决有关问题,通过学生动手操作、小组合作交流,共同归纳出结论,在学生探究过程中突出了学生是课堂的主体,让学生在课堂上展示自己,增强自信心.例题的设计把本节课的内容进行了拓展,即位似中心不是坐标原点的情况,联系了前后知识,开阔了学生的视野,拓展了学生的思维,提高数学思维能力.

本节课是位似的第2课时,主要探究位似图形坐标的特征,并能应用探索的规律解决有关问题,在教学设计中关注学生的课堂参与,表面看课堂气氛活跃了,但是只有部分学生积极发言,调动学生的积极性的技巧还存在问题,另外例2的设计目的是把本节课知识进行拓展,但题的难度有点大,给予讨论的时间不够长,有些学生没有真正掌握,在以后的教学中,要注重难易程度的把握.

本节课的重点是探索位似图形的坐标特征,通过复习位似的概念和性质,为本节课的学习做好铺垫,然后在平面直角坐标系下具体画位似图形,通过观察、思考、小组交流,归纳位似图形坐标的规律,培养学生的合作意识和归纳总结能力.通过例题讲解巩固位似图形的坐标规律,并进行知识拓展,让学生体会位似中心不是坐标原点的解题思路和方法,拓展学生思维,提高学生分析问题、解决问题的能力.