阅读与思考 生活中的反比例关系PPT及课堂实录内容

反比例函数的图象和性质

新课标人教版九年级下册《反比例函数》

教学任务分析

反比例函数的图象和性质是反比例函数的教学重点，学生需要

在理解的基础上熟练运用。本节课是全章的核心，学习的主要内容教

是画反比例函数的图象，让学生结合实例，通过列表、描点、连线

等手段经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，初步认识材

反比例函数的图象的特征，逐步明确反比例函数的直观形象，为学

生探索反比例函数的图象的性质提供思维活动的空间。

分

反比例函数是初中阶段研究的第二种函数，它的图象与一次函

数的图象不同，研究方法更具有一般性和代表性，可为以后二次函析

数以及其他函数的学习奠定坚实的基础。

教

学

目

标

知识

技能

1、会用描点法画反比例函数的图象。

2、结合图象分析、并掌握反比例函数的图象的性质。

数学

思考

1、经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法。

2、通过观察反比例函数的图象，分析、探究反比例函数的图象的性质，培养学生的探究、归纳及概括能力。

情感态度

与价值观

1、让学生体会事物是有规律的变化着的观点。

2、由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学生的学习兴趣。

教学重点

教学难点

教学

方法

正确地进行描点，画出图象，理解并掌握反比例函数的图象和性质。

图象的对称性选点，归纳反比例函数的图象的性质。

引导探索法”。由浅到深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索、合作交流。

教学过程说明

问题与情境

师生行为

设计意图

学生思考后，回答：

1、y=6x，它的图象是发探究

一条过原点的直线，找图象问题1：若长方形通过实际问题，让学上的两点作出直线即可。

的一边长为6，面积y2、y=6x-1，是反比例函生对正比例函数及其图象与另一边长x之间有数，图象的样子不清楚。

进行复习，引出对反比例什么关系？若抛开实此时，我抓住时机提函数图象的画法的探索，际含义，它的图象是什问：

通过猜测、讨论，激发学请同学们猜测一下，反生的探索欲望。

么样子？你能画出来比例函数y=6x-1的图象会吗？

是什么样子呢？

问题2：若长方形给时间学生猜测，探的面积为6，一边长y讨。

与另一边长x之间有什么关系？若抛开实际含义，它的图象是什么样子，你能画出来吗？

一、创设情境，启

二、尝试发现，探索新知

活动1：摸索前行

画出反比例函y=6x-1的图象

1、结合猜测，尝试作图

2、结合所作，辩析图象

由于刚鼓起来的猜测热情，大部分同学会不假思索地动手画起来，我在巡视过程中，不对作图的对错作过多评价，只是鼓励学生动脑、动手，建议合作交流，并及时收集各种错误图象。

数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。鼓励学生作图，培养学生的参与意识，并及时了解学生的认知水平，由于正比例函数图象所产生的负迁移及贪图省力的心理驱动，所作图象会出现一些错误，这正为我们的教学提供宝贵的、可利用的资源。

我出示有代表性的错

误图象，先请作出者表述一教育心理学认为：概下画法，再结合同学们的集念或法则的正例传递了最体智慧，进行辩驳。

有利于概括的信息，反例在辨析过程中，既让学则传递了最有利于辨别的生认识到错误，更注重引导信息。

学生在探索过程中出学生发现其中的合理成分，我用疏导的方式，将负迁移现错误是符合学生的认知规律，而充分发挥学生的平稳滑移到合理的做法上主体作用，疑惑让学生辨，来，让出现错误的同学心服方法让学生找，在相互辩口服，彻底澄明。

驳中激化矛盾，形成思维碰撞，在反思，讨论中逐

（其中图1取了不同步取得正确的作图经验，

象限的两点，为对称取点提不仅克服了正比例函数图

供了思路；图2选了同一象象的负迁移，反而体会到

限邻近的两点，这也是探索反比例函数图象的大致形

图象形状所必备的；图3已象，正如奥姆斯特得所说

初具形态，只不过使用了折的“一个数学反例可以解

决的问题，给人的刺激就

线；图4的取点已经趋于合

如好的戏剧，让人拍案叫理，形态也基本呈现，这是

绝”。

大部分同学最感困惑的地对学生的错误进行正

方，他们知道不能经过原

面评价，不仅让学生认识

点，但两个部分怎样连接起到探索中出现错误的原

来？这是学生理解的难点因，更让学生意识到自己

所在。）

的探索是有意义、有价值

的，进一步激发了学生的

先让学生冷静思考，组学习热情及探索的勇气。

3、结合辨析，体织语言，再相互交流，表述

会作法

观点。我让更多同学发言，自主探索，合作交流思考：

相互补充，让学生认识到画必须建立在学生的独立探（1）你认为画反反比例函数图象仍然要按索的基础上，因此先强调比例函数图象应注意列表、描点、连线的步骤进学生独立思考、梳理经验行，应注意：

哪些问题？

1、列表取值时X≠0，因为与体会，再相互交流，互（2）反比例函数X=0，函数无意义，因此可以以相补充，进而获得反比例图象可与坐标轴相交“0”为中心，对称性取值，即函数图象画法的要领与关正负数各取一样，且互为相反吗？为什么？

键，既培养了学生善于独数，这样便于求y的值。

2、因为图象的样子不太清立思考的好习惯，又培养

楚，应该多取一些值、多描一

了学生乐于合作的协作意些点，这样便于连线，使画出

识。

的图象更精确。

3、连线时应接自变量的值教师不仅是活动的策划

从小到大的顺序用平滑的曲线

者、引导者，更应是活动连接，切忌用折线。

4、因为X≠0，K≠0，所以的参与者，教师的参与不

y≠0，从而决定反比例函数图仅会对规范作图起到示范

象不可能与坐标轴相交

，两象性、指导性的作用，同时，

限内的部分只能“隔海相望”，

角色的转换，促进师生关形成两个分支。

4、结合体会，作

系和谐，进一步激发学生先由学生自主作图，再出图象

的参与意识。

提出师生交换角色，让学生

指导，我按步骤画出图象。

活动2：乘胜追击

画出反比例函数y=-6x-1 的图象。

活动3：合作一练

画出反比例函数：y=3x-1与y=-3x-1的图象。

活动4：探究性质

问题1：从以上作图看，你发现反比例函数图象有什么共同点？其形状是什么？

问题2：观察以上四个图象，你能对它们进行分类吗？说说你分类的标准。

问题3：你认为反比例函数中什么元素决定了图象的特征差异？

问题4：你能总结出反比例函数的性质吗？

学生独立完成作图，我通过作图训练，不仅在巡视中关注“学困生”，促使学生将知识转化为技适时指导，然后出示备好的能，还让学生逐步对反比例函数图象的形状，位置图象，供学生对照。

等形成直观印象，为后续

探索图象的性质提供足够同位分工完成，一人画的感性材料。

一个，完成后互相评价，相

互交流。

引导学生回忆作图过程，观察图象，分析、交流，逐步理解并掌握反比例函数图象的性质：

1、反比例函数的图象属于双曲线，随X的增大（或缩小），双曲线不断接近坐标轴。

2、允许学生有不同分类，分类依据只要合理便予以充分肯定。

3、引导学生从具体的图象中发现k值的作用。

4引导学生从图象形状、位置及增减性等方面对图象的性质进行归纳。

布鲁纳说过：“探索是数学的生命线”。数学问题往往蕴含着智力因素，具有一定挑战性，通过巧妙设问，锻炼了学生的思维。“你发现了什么？”

“你想到了什么？”“你认为……”等等语句激活了学生愿探其祥的动机，不断地挑战，又不断地得到突破，使学生品尝到探索成功的乐趣。

在分析，探究的过程中，重视学生对图象的观察与思考，向学生渗透数形结合的思想方法。

三、以练促思，

强化新知

1、你问我答

1、同位配合，一个给出函数，另一位说出其性

通过训练使学生加深2、小试身手

对反比例函数的性质的理(1)已知反比例函质。

解与记忆，不断地完善新数y=(4-k)x-1 ①函数图象位于

的认知结构。

第一、三象限，则K

的取值范围2、学生独立思考，然为

。

后相互交流，我再进行讲②在每个象限内评。

y随x的增大而增大，则k的取值范围为

。

（2）反比例函数t=(m-1)xm2-3的图象分别位于第二、四象限，则m的取值为

，在每个象限内y随x的增大而

。

四、反思小结，观点提炼

（1）知识归纳

（2）思想方法提炼

鼓励学生从数学知识、数学方法及数学情感等方面交流体会，通过完成对比表，进一步对知识进行梳理。

积极引导学生从探索过程中提炼出解决问题的思想方法。

反思与小结，培养了学生的归纳总结能力，让学生建构新的知识框架，增强学生的认识水平，发展数学能力。

五、分层作业，各有

所获

必做题：习题17.1

第3.8题

选做题：

学生独立练习，我巡视1、若反比例函数指导，然后讲评。

y=kx-1（k＜0）的函数图象过点P（2，m），Q(1,n).则m与n的大小关系为

。

2、若反比例函数

通过作业及时地了解学生的学习效果，分层布置，使全体学生获得必要的发展，体现了“让不同的人在数学上获得不同的发展”的教学理念。

y=kx-1（k＞0）的函数图象有三点（-3，a),(-1,b),(2,c),则a,b,c的大小关系为

。

六

评价与反思：

本节课主要通过活动引路，提出问题，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征，体会事物是有规律地变化着的观点。用科学的方法解决问题，培养学生科学的态度与精神。

本节课的教学设计力求在每一个环节上都能以学生为主体，以围绕着增加学生学习的兴趣，降低思维难度，减少学生对函数学习的畏惧心理，强化主动的学习动机，为学生自信的心理品质的发展和学习的主动性培养提供良好的心理环境为出发点，让学生自己完成知识的探索，体会他们的探索是有意义、有科学性、有创造性的。本设计有以下几个突出特点：

1、.敢于使用知识的负迁移。在教学中普遍认为，知识的负迁移对学生起到负面的作用，因此，在教学中都想方设法避开这些错误的负面，一旦出现也是围追堵截，消灭在萌芽状态。而实际上，巧妙地利用负面资源，变废为宝，不失良策，甚至能起到事半功倍的效果。

2、提供足够的感性材料，为理性认识蓄足底蕴。

为了更好地发现反比例函数的性质，组织了三次画图活动，在画图、评析、纠正、调整等活动中反复历练了画图的方法，学生有了丰富的感性素材，可谓“厚积薄发”。

3、教师、学生的合理定位。

教师始终把自己放在了策划者、引导者、促进者的位置，注重了学法的指导，“授人以鱼，不如授人以渔”，方法是高于知识的，它能驾驭知识。同时把学生推向前台，使学生以研究者和探索者的身份穿梭于课堂，充分突出了主体的地位，角色的更新提升了学生的参与意识，在成功中获得自信，可谓德智双赢。

板书设计：

17.1.2反比例函数的图象和性质

画图象

画y=6x-1的图象

（1）列表

（2）描点

（3）连线

性质：

1、形状

2、位置

3、增减性

体会

练习