反比函数在物理学中的应用设计意图

26.1.1

反比例函数

1.理解并掌握反比例函数定义.

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.

3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及自变量的取值范围.

1.让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.

2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数概念,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.

3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.

2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.

【重点】

1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.

2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.

【难点】

经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.

【教师准备】

多媒体课件1~7.

【学生准备】

预习教材P1~3.

导入一:

【课件1】

同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以它们的平均速度有快有慢.

(1)如果速度v一定,那么路程s与时间t是什么关系?

(s=vt,是正比例函数)

(2)如果时间t一定,那么路程s与速度v又是什么关系呢?

(s=vt,是正比例函数)

(3)如果路程s一定,那么速度v和时间t又是什么关系呢?

【思考】

以上关系是函数吗?这个函数是不是我们前边学过的函数?

【导入语】

问题(1)(2)中的函数是一次函数(正比例函数),(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.

[设计意图]

通过生活中的情景问题,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入新课的学习.

导入二:

【课件2】

我们知道,导体中的电流I与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220 V时:

(1)你能用含有R的代数式表示I吗?

(2)利用写出的关系式完成下表:

R/Ω

20 I/A

40

60

80

100

当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?

(3)变量I是R的函数吗?为什么?

[设计意图]

从学生身边的生活和已有知识出发,创设情景,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激发学生学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数概念做铺垫.同时,这个事例的引入也有助于学生从学科综合的角度进行学习.

导入三:

【复习提问】

(1)什么是函数?什么是一次函数、二次函数?

(2)一次函数、二次函数的学习过程是怎样的?

【课件3】

出示以往研究函数的基本思路:

【师生活动】

学生思考回答,教师点拨.

[设计意图]

通过复习一次函数、二次函数的概念,让学生从已有的知识体系中自然地构建出新知识.回忆学习一次函数、二次函数的研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,初步了解本章的基本内容和研究思路,为后续学习做好铺垫.

[过渡语]

函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数、二次函数时,在理解定义的基础上,研究它们的图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.

思路一

1.感知反比例函数

【出示课件4】

(1)京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化;

(2)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化;

(3)已知北京市的总面积为1.68×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化.

教师引导学生针对上面三个事例思考:

(1)每个事例中的两个变量是什么?

(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?

(3)有几个值与变化的量相对应?这种变化说明变量之间是什么关系?

(4)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?

(5)所列出的函数关系式有什么特点?

[设计意图]

通过问题组的形式,引导学生发现这些变量之间的关系是一种函数关系,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数和二次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时激发学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.

【学生活动】

独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.

【参考答案】

(1)v=

(2)y=

(3)S=.

2.反比例函数的概念

[过渡语]

刚才同学们总结的函数关系式,既不是一次函数,也不是二次函数,接下来让我们一起研究这类函数的特征吧.

观察前面的三个函数关系式,思考:

(1)这三个函数是一次函数或二次函数吗?

(2)这三个函数与前边学过的函数有什么不同?你能说出它们的共同特征吗?

(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?

(4)你能给这类函数下一个定义吗?

【师生活动】

学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.

教师引导学生从两个方面思考:与一次函数和二次函数的解析式对比;给出的三个函数关系式等号右面是整式还是分式;三个函数关系式中的k值有什么特点.

【总结(出示课件5)】

一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

思考:(1)你身边哪些量之间存在着反比例函数关系?

(2)在反比例函数y=中,k,x,y可以取任意实数吗?

(3)反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?为什么?

(4)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?

【师生活动】

学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:

反比例函数y=等号右边是分式形式.

反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.

反比例函数的三种表示形式:y=,xy=k,y=kx-1.

[设计意图]

通过学生观察讨论,依据老师设计的问题串,类比已学函数,抽象出函数的本质特征,归纳出反比例函数的特征,学生经历概念的形成过程,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.

思路二

1.认识新的函数——反比例函数

【出示课件6】

下列五个事例:

(1)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)与宽x(单位:m)有何关系?

(2)物理学中电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR.当U=220 V时,R与I有何关系?当R=10 Ω时,I与U有何关系?

(3)京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位:h)有何关系?

(4)用10 m长的篱笆围成矩形的小花园.

①如果花园的长为y m,宽为x m,那么y与x有何关系?

②如果花园的长为x m,面积为y m2,那么y与x又有何关系?

(5)已知北京市的总面积为1.68×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)有何关系?

教师引导学生针对上面五个事例思考:

(1)每个事例中的两个变量是什么?

(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?这种变化说明变量之间是什么关系?

(3)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?

(4)所列出的函数关系式有什么特点?

[设计意图]

问题情景既有教材“思考”栏目的问题,又有新增设的跨学科的物理问题,这些事例都要求学生从实际问题中找到两个变量,确定函数解析式.使已学函数和要研究的新函数都呈现在学生面前,引发学生的认识冲突,为形成反比例函数概念、辨析反比例函数做好准备.

【总结】

经过学生交流研讨,确认五个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.

(1)y=.

(2)R=;I=.

(3)v=.

(4)①y=5-x.

②y=5x-x2.

(5)S=.

2.反比例函数的概念

[过渡语]

刚才同学们列出了相关的7个函数关系式,接下来我们开始研究这些函数解析式的特征吧.

(1)反比例函数的一般形式

【出示课件7】

思考下列问题:

【问题1】

哪些是正比例函数、一次函数、二次函数?

【问题2】

哪些函数与问题1中的函数不同?能给这类函数下定义吗?

【问题3】

你能尝试写出类似问题1中这种函数的一般形式吗?

【问题4】

上述函数中的常数k分别是多少?

【问题提示】

上述情景中给出七个函数,其中第一、二、三、四个及第七个函数不是以往学习过的函数.通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.这几个特殊的函数学生可以初步总结为y=.

(2)理解反比例函数概念

【问题1】

反比例函数的一般式y=的等号右边是什么式子?

(提示:分式,其他的函数都是单项式或多项式)

【问题2】

反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求?

(提示:都是不能为0的实数)

【问题3】

反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?

(提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1)

[设计意图]

通过前面的三个问题,观察学生是否能理解反比例函数的意义,是否能用数学语言表达反比例函数的解析式,是否理解自变量的取值范围(实际问题中自变量取值有所不同),是否掌握判断反比例函数的标准和方法.

通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念及模型的建立也就会水到渠成.

3.例题讲解

[过渡语]

我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.

下列函数:(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=;(5)xy=2;(6)y=.其中是反比例函数的是

(填序号),它们的比例系数分别是

.

〔解析〕

根据反比例函数概念进行判断,易得(1),(2),(4),(5)是反比例函数,其中k分别为5,0.4,,2.

〔答案〕

(1)(2)(4)(5)

5,0.4,,2

若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为

.

【师生活动】

学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.

〔解析〕

根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:(1)常数k≠0;(2)自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.

[设计意图]

通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略考虑k≠0这一易错点.

(教材例1)已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.

(1)写出y关于x的函数解析式;

(2)当x=4时,求y的值.

【师生活动】

师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.

〔解析〕

类比一次函数、二次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y的值代入,求出待定系数k.

解:(1)设所求函数解析式为y=.

因为当x=2时,y=6,所以有6=.

解得k=12.因此所求函数解析式为y=.

(2)把x=4代入y=,得:

y==3.

[设计意图]

通过复习待定系数法,再次用这一方法求反比例函数解析式,并让学生体会反比例函数解析式中只有一个待定系数,所以代入一组值即可求出函数解析式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用,提高学生的归纳能力.

[知识拓展]

(1)反比例函数y=(k≠0)等号右边分式的分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=,y=等都是反比例函数,但y=中,y就不是x的反比例函数.

(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.

1.反比例函数定义:形如y=(k为常数,且k≠0)的函数叫做反比例函数.

2.反比例函数满足的条件:

(1)函数右边是分式形式;

(2)自变量的指数是-1;

(3)比例系数不为0.

3.反比例函数的三种表示形式:y=(k≠0);xy=k(k≠0);y=kx-1(k≠0).

4.反比例函数自变量的取值范围:x≠0.

1.下列函数中,是反比例函数的是

(

)

A.y=2x+1

B.y=0.75x

C.y=

D.xy=1

解析:A中函数是一次函数;B中函数是正比例函数;C中函数右边分母不是x的单项式,所以A,B,C都不是反比例函数,只有D符合反比例函数定义.故选D.

2.反比例函数y=(m+1)x-1中m的取值范围是

(

)

A.m≠1

B.m≠-1

C.m≠±1

D.全体实数

解析:在反比例函数y=kx-1中,比例系数k≠0,所以m+1≠0,所以m≠-1.故选B.

3.若函数y=x2m-1为反比例函数,则m的值是

.

解析:根据反比例函数定义可得2m-1=-1,解得m=0.故填0.

4.某蓄水池的排水管每小时排水8 m3,6 h可将满池水全部排空.

(1)蓄水池的容积为

;

(2)若每小时排水用Q(m3)表示,则排水时间t(h)与Q(m3)的函数解析式为

.

解析:由题意可得等量关系为:单位时间内的排水量×排水时间=总排水量,所以蓄水池的容积为8×6=48(m3),故Qt=48,即t=.

答案:(1)48 m3

(2)t=

5.已知y与3x成反比例,且当x=1时,y=.

(1)写出y与x的函数解析式;

(2)当x=时,求y的值;

(3)当y=时,求x的值.

解:(1)设y与x的函数解析式为y=,

把x=1,y=代入,

得=,所以k=2,

所以y与x的函数解析式为y=.

(2)当x=时,y=2.

(3)

当y=时,=,

解得x=.