阅读与思考 生活中的反比例关系教学设计及教案分析

26.1 生活中的反比例关系

教学目标：

知识技能目标:

1.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型. 2.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题. 过程性目标:

1.通过探究生活中的实际问题,让学生体会数学建模思想的构建. 2.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识. 情感态度目标:

1.通过将反比例函数性质灵活应用于实际,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣. 2.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神. 3.让学生体会数学知识与现实世界的联系. 重点难点: 重点:从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 难点:根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型. 教学过程: 一、创设情境

问题1:(1)反比例函数的定义是________________.

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(2)反比例函数的图象是__________,当k>0时,__________;当k<0时,________________.

(3)待定系数法求反比例函数解析式的步骤:________________.

问题2:公元前3世纪,有一位科学家说了这样一句名言:“给我一个支点,我可以撬动地球!”你们知道这位科学家是谁吗?这里蕴含什么样的原理呢?

杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂

问题3:电学知识告诉我们,用电器的功率P(单位:W)、两端的电压U(单位:V)以及用电器的电阻R(单位:Ω)有如下关系:PR=U2.这个关系也可写为P=,或R=. 二、探索归纳

例1:市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深? (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为15 m.相应地,储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)? 解:(1)根据圆柱的体积公式,得Sd=104, - 2 -

所以S关于d的函数解析式为S=. (2)把S=500代入S=解得d=20(m). ,得500=, 答:如果把储存室的底面积定为500 m2,施工时应向地下掘进20 m深. (3)根据题意,把d=15代入S=解得S≈666.67(m2). ,得S=, 答:当储存室的深度为15 m时,底面积应改为666.67 m2. 例2:码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v(单位:吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨? 解:(1)设轮船上的货物总量为k吨,根据已知条件得k=30×8=240,

所以v关于t的函数解析式为v=. (2)把t=5代入v=,得v==48(吨/天). ∴如果全部货物恰好用5天卸载完,那么平均每天卸载48吨. - 3 -

∵对于函数v=,当t>0时,t越小,v越大. ∴若货物不超过5天卸载完,则平均每天至少要卸载48吨. 例3:小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少? 解:(1)根据“杠杆原理”,得

Fl=1 200×0.5,

所以F关于l的函数解析式为F=. 当l=1.5 m时,F==400(N). 对于函数F=,当l=1.5 m时,F=400 N,此时杠杆平衡. 因此,撬动石头至少需要400 N的力. (2)当F=400×=200时, 由200=得l==3(m),3-1.5=1.5(m). 对于函数F=,当l>0时,l越大,F越小. - 4 -

因此,若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m. 例4:一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110～220 Ω.已知电压为220 V,这个用电器的电路图如图所示. (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系? (2)这个用电器功率的范围是多少?

解:(1)根据电学知识,当U=220时,得P=. (2)根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率越小. 把电阻R最小值=110代入P=,得

P最大值==440(W); 把电阻R最大值=220代入P=,得

P最小值==220(W); 因此用电器功率的范围为220～440 W. 追问:想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节. 三、新知应用

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1.如图,某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L(1 L=1 dm3)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S(单位:dm2)与漏斗的深度d有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积为100 cm2,则漏斗的深为多少?

答案:(1)S=

(2)30 cm 2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地. (1)当他按原路匀速返回时,汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系? (2)如果该司机必须在4 h之内回到甲地,那么返程时的平均速度不能小于多少? 答案:(1)v=

(2)120 km/h 3.新建成的住宅楼主体工程已经竣工,只剩下楼体外表面需要贴瓷砖,已知楼体外表面的面积为5×103 m2. (1)所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S(单位:m2)有怎样的函数关系? (2)为了使住宅楼的外观更漂亮,建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖,每块瓷砖的面积都是80 cm2,且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2∶2∶1,需要三种瓷砖各多少块? 答案:(1)n=四、检测反馈

(2)250 000块,250 000块,125 000块

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1.已知甲、乙两地相距s(单位:km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t(单位:h)关于行驶速度v(单位:km/h)的函数图象是 (

)

答案:C 2.在某一电路中,电源电压U保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示. (1)写出I与R之间的函数解析式. (2)结合图象回答当电路中的电流不超过12 A时,电路中电阻R的取值范围是多少Ω?

答案:(1)I=

(2)电阻R大于或等于3 Ω

3.密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)也会随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图所示. (1)求密度ρ关于体积V的函数解析式. (2)求V=9 m3时,二氧化碳的密度ρ. - 7 -

答案:(1)ρ=五、课堂小结

(2)1.1 kg/m3

1.知识小结:面积一定时,矩形的长与宽成反比;面积一定时,三角形的一边长与这边的高成反比;体积一定时,柱体的底面积与高成反比等.建立反比例函数模型解决实际问题时,要注意自变量的取值范围. 2.思想方法小结──深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法. 六、板书设计

课题:26.1 实际问题与反比例函数

例1 例2 例3 例4 (反比例函数) 实际问题数学模型

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