二次函数求实际问题中的最值课堂实录及点评

石家庄市第九中学课时教学设计

学科

数学

授课时间

任课教师

辛红

课题

30.4几何图形面积的最值问题

授课类型

新授课

教学

目标

1.能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。 2.掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。

教学

重点

教学

难点

教学

方法

利用二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图像与性质，求实际问题中的最值问题。

1．正确构建数学模型

。

2．对函数图像顶点、端点与最值关系的理解与应用。

自主探究，小组合作与启发式探究相结合的教学方法。

教学内容

学习目标：

1.通过学习和探究几何图形“面积”问题，掌握用二次函数的性质解决“几何图形面积最值”问题的一般步骤。 2.通过研究生活中的实际问题，体会建立二次函数数学模型的思想。 一、新知探究

做一做：

请你做一个周长为16厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比一比，发现了什么？谁的面积最大？

明确本节课的学习任务

“做一做”比较简单，但对学生有很大吸引力和挑战性，可有效地激发学生的学习兴趣。

设计意图

出示学习目标

出示问题

教师活动

学生活动

阅读

学生动手操作,组内比较。（课前完成）

时间

1′

2′

2教

学

过

程

教学内容

一起探究：

用一根长16cm的铁丝折成一个矩形方框，怎么折才能使得矩形方框的面积最大？

最大面积是多少？

通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题．让学生在合作学习中共同解决问题，设计意图

教师活动

引导学生分析，并用函数模型解决问题，教师完整板书解答过程，

组织学生小组讨论

，师生共同总结。

组织学生小组讨论，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函

变式题：若墙的长度限制为6米，花圃面积何时取得最大？

数的图像辅助观察、理解最值的实际意义。

学生活动

小组讨论，师生共同总结

时间

ADB

C培养学生的合作精神．

培养学

生归纳、总结，反思学习过程的能力。

进一步巩固用二次函数知识解决实际问题的方法

，目的在于告诉学生数学不能脱离生活实际，加深对最值的理解，做到数与形的完美结合，通过此题既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。

教

学

过

程

二、巩固应用

1.小明的家门前有一块空地，空地外有一面围墙（足够长），为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃

，他买回了16米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AB究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？

6′

请一名同学

上黑板板演，10′

之后师生共同点评。

教学内容

三、拓展提升

2. 如图,在一个直角三角形MAN的内部作一个矩形ABCD,其中AN=40cm, AM=30cm,AB和AD分别在两直角边上。

(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表

此题是对本节所学知识的进一步升华与巩固，使学生深刻体会到解决这类问题，首先要建立二次函数的数学模型，将生产实际中的最大值和最小值问题，转化为利用二次函数的性质解决。

三角形内接矩形最大面积问题的求解，是代数、几何数形结合的典例，用到了相似三角形的判定及性质、二次函数的性质、矩形三角形的面积公式等基本的设计意图

教师启发、引导、组织学生讨论，帮助学生解决问题。教师深入小组参与讨论。

教师讲解。

教师活动

学生活动

认真审题，独立思考，小组讨论，认真听讲，总结，整理。

时间

10′

教

学

过

程

示？ (2)设矩形的面积为S,求S与x的函数关系式并直接写出x的取值范围？

当x取何值时,S最大，S的最大值是多少? 数学知识，这是一个典型的最优化问题，解决这类最大面积问题

往往需要构建二次函数模型，进而利用二次函数求最值的有关知识加以解决。设计此题的目的是让学生学会构造三角形相似是寻找线段之间数量关系的重要方法。

教学内容

四、总结反思

运用二次函数解决几何图形面积的最值问题

1.根据实际问题建立二次函数的模型。 （1）分析图形，引入自变

点明本节课的主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，对知识脉络有更清晰的认识。

反思：

设计意图

教师对学生的回答给予帮助，让语言教师活动

学生活动

时间

3′

让学生谈谈这节课学习的体会和收教

学

过

程

量。（2）用含自变量的代数式分别表示与几何图形的面积有关的量。（3）根据几何图形的面积公式,列出二次函数的解析式。 表达更准确。

获，各抒己见。

2.确定自变量的取值范围。 1.建立函数模型

3.在自变量的取值范围内求二次函数的最值。

（1）分析b

是否在自2.运用函数性质

3.考虑自变量的范围

2a变量的取值范围之内；（2）若在，则函数在

xb2a4acb2时，取最值

4a

；

（2）若不在，应根据函数的增减性求其最值。

课

后

反

思