2.2 有理数和无理数板书设计

2.2有理数与无理数

一、教学目标：

1、

理解有理数的意义。

2、

知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念。

3、

会判断一个数是有理数还是无理数。

4、

经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程，发展数感。

二、教学重点：

1.区分有理数与无理数，知道无理数是客观存在的。

2.感受夹逼法，估算无理数的大小。. 三、教学难点：会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无限”的过程。

四、教学过程：

一、创设问题情境,引入新课：

1、我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢?

2、我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充了范围，从形式上来看，我们学过的一部分数又可以分为整数和分数。我们能够把整数写成分数的形式吗？如：5，4，0…，可以吗？

m小结：①我们把可以化为分数形式“（m、n是整数，n≠0）”的数叫做有理数；

n ②有理数一般有下面两种分类方法：

正整数正整数正有理数整数0正分数负整数；0（1）按定义分类：有理数（2）按正负分类：有理数

负整数正分数负有理数分数负分数负分数2、想一想：小学里我们还学过有限小数和循环小数，它们是有理数吗？

问题1：有限小数如0.3，-3.11，…能化成分数吗？它们是有理数吗？

问题2：①请将142，

，写成小数的形式。②这些是什么小数？

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小结：反之循环小数也能化为分数的形式，它们也是有理数！循环小数如何化为分数可以一起学习书P17、读一读

二、讲授新课

有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 1.议一议：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。

（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？

（2）a可能是整数吗？说说你的理由。

（3）a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。

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11111111m小结：经过讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，也就是不能写成

的n形式，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.

2、算一算：

（1）

a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来。

边长a 1＜a＜2 1.4＜a＜1.5 1.41＜a＜1.42 1.414＜a＜1.415 1.4142＜a＜1.4143 面积S

1＜S＜4 1.96＜S＜2.25 1.9881＜S＜2.0164 1.999396＜S＜2.002225 1.99996164＜S＜2.00024449 a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.

（2）请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟) b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.

小结：归纳总结:a，b既不是整数，也不是分数，则a，b一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数——无理数。关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过2的a=2中的a不是有理数。

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神. 除上面的a，b外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…

(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数. 练习：

3、有理数与无理数的主要区别

(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.

4、无理数按正负分类可分为：正无理数和负无理数。

三、例题

例1、判断题

①小数都是无理数.（ ）

②无理数都是无限小数.（ ）

③整数中仅包含正整数和负整数.（ ）

④分数都是有理数.( ) ⑤正数都是自然数.( )

例2、把下列各数填在相应的大括号内：

π32224，0，，314，－，，，－0.55，8，1.121 221 222 1…(相邻两个1之间依次多一个2)，533790.2111，201，999，618, 正数集合｛

…｝；

非负数集：｛

…｝；

有理数集：｛

…｝；

无理数集：｛

…}. 整数集：{

…} 非负整数集：{

…}

例3：以下各正方形的边长是无理数的是（ ）

A、面积为25的正方形； B、

面积为16的正方形；

C、面积为8的正方形；

D、面积为1.44的正方形；

22例4：下列各数：0.123，,1.5,3.1416，，2,0.1020020002…，若其中无理数的个数为x，7整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z=

；

四、课时小结

1．什么叫无理数？

2．数的分类？

3．如何判定一个数是无理数还是有理数；

五、课后反思：