30.1 二次函数板书设计及设计说明

30.1

二次函数

教学目标：

1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.

2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.

3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.

过程与方法：

1.经历从实际问题中建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会数学与生活密切相关.

2.通过进一步体验用数学方法描述变量之间的数量关系,提高学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.

3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

教学重难点：

【重点】

理解二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.

【难点】

经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系.

教学准备：

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P26~27.

教学过程：

新课导入

导入一:

出示投篮图片:

【导入语】

如果一种函数的图像就如投出的篮球在空中划过的一条抛物线,我们一定会觉得很有趣.这种函数就是这章要学习的二次函数.

[设计意图]

通过欣赏图片,让学生初步感受二次函数的存在以及二次函数的图像是一条抛物线,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.

导入二:

思考:

1.什么是一次函数、反比例函数?

2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?y是x的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗?

3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?

[设计意图]

通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.

二、新知构建

[过渡语]

我们学习一次函数、反比例函数时,在实际问题中抽象出函数的概念,然后研究它们的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——二次函数. 一起探究

(课件展示)

1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n块瓷砖.

思路一

教师引导学生思考并回答:

(1)设灰色瓷砖的总数为y块.

①用含n的代数式表示y,则y=

.

②y与n具有怎样的函数关系?

(2)设白色瓷砖的总数为z块.

①用含n的代数式表示z,则z=

.

②z是n的函数吗?说说理由.

【师生活动】

学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系.

(板书)

(1)y=4n+6,一次函数.

(2)z=n2+n-6,z是n的函数.

思路二

思考:

(1)在实际问题中抽象出函数关系的关键是什么?

(2)设灰色瓷砖的总数为y块,白色瓷砖的总数为z块,你能分别找到y与n,z与n之间的等量关系吗?

(3)你能根据以上等量关系分别用含n的代数式表示y,z吗?

(4)y与n、z与n之间是函数关系吗?如果是,是什么函数关系?如果不是,请说明理由.

【师生活动】

学生独立思考后,小组讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示讨论结果,教师及时补充并归纳建立函数模型的关键是找等量关系.

(板书)

(3)y=4n+6,一次函数.

(4)z=n2+n-6,z是n的函数.

(课件展示)

2.某企业今年第一季度的产值为80万元,预计产值的季平均增长率为x.

思路一

教师引导分析:

(1)设第二季度的产值为y万元,则y=

.设第三季度的产值为z万元,则z=

.

(2)y,z都是x的函数吗?它们的表达式有什么不同?

【师生活动】

学生在教师的引导下思考并回答问题,教师点评并板书.

(板书)

(1)y=80x+80,一次函数.

(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.

思路二

思考:

(1)设第二季度的产值为y万元,第三季度的产值为z万元,你能用含x的代数式分别表示y,z吗?

(2)y,z都分别是x的函数吗?

【师生活动】

学生思考后,小组内交流答案,学生板书,教师点评.

(板书)

(1)y=80x+80,一次函数.

(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.

[设计意图]

通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做好铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.

形成概念

观察下面两个函数:

z=n2+n-6,z=80x2+160x+80,

思考:

(1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同?

(2)这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少?

(3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?

(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?

【师生活动】

学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳二次函数的概念.

(课件展示)

一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.

思考:

(1)二次项系数能不能为0?一次项系数和常数项呢?为什么?

(2)如何判断一个函数是不是二次函数?

(3)二次函数的一般形式与一元二次方程的一般形式有什么关系?

(4)函数y=x2+2x+

,y=-

x2+

x+5,y=3x2,y=-

x2+6是不是二次函数?

【师生活动】

学生独立思考后,小组内合作交流,学生回答问题后,师生共同归纳二次函数的特征:

(课件展示)

(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.

[设计意图]

通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解

定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.

大家谈谈

(课件展示)

1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.

2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同.

【师生活动】

学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,其他学生补充,教师点评.

[设计意图]

通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系.

例题讲解

[过渡语]

我们通过实例归纳总结了二次函数的定义,试试能不能解决下列问题. (课件展示)

例1

(补充)若y=(m+1)

- -

是二次函数,则m的值为

.

【师生活动】

学生独立完成后,小组内交流答案,教师讲解分析过程并强调易错点.

解:∵二次函数的自变量x的最高指数是2,∴m2-6m-5=2,由二次项系数不为0,得m+1≠0,解得m=7.

【易错点】

常忽略二次项系数不为0.

做一做

新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学,每两人之间都握手一次,用y表示全班同学握手的总次数.

(1)请用含m的代数式表示y,说明y是m的二次函数,指出该函数中对应的a,b,c的值.

(2)若全班有45名同学,则这样握手的总次数是多少?

教师引导分析:

全班共有

人,每个人要与

人握手一次,则每两人之间都握手一次共握手

次,则y与m的函数关系式为

.

【师生活动】

学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评.

[设计意图]

通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣.

[知识拓展]

1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:

(1)正确辨别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式;(4)确保自变量有意义.

2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a≠0.

3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)叫做二次函数的一般式.

4.当a≠0时,y=ax2+bx+c才是二次函数.当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.

5.在y=ax2+bx+c(a≠0)中,x的取值范围是全体实数.

6.二次函数y=ax2+bx+c

(a≠0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了.

三、课堂小结

1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数叫做二次函数.

2.二次函数满足的条件:(1)函数表达式的右边是整式形式; (2)自变量的最高指数是2;

(3)二次项系数不为0.

3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x取任意实数,但在实际问题中要有实际意义.

4.根据实际问题写出函数表达式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列函数表达式.

四、板书设计

30.1

二次函数

一起探究

形成概念

大家谈谈

例题讲解

做一做

五、布置作业

【必做题】

教材第27页习题A组的1,2,3题.【选做题】

教材第28页习题B组的1,2题.