3.2.2 复数代数形式的乘除运算主要内容及教案内容

3.2.2复数代数形式的乘除运算

金平一中（彭文艳）

一、教学目标

1．掌握复数代数形式的乘、除运算．

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3．理解共轭复数的概念．

二、教学重难点

重点：掌握复数代数形式的乘、除运算

难点：理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律

三、教学过程

教材整理1 复数的乘法法则及运算律

阅读教材P58至“例2”以上内容，完成下列问题．

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝

____________________. 2．复数乘法的运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

(1)交换律：z1·z2＝_____. (2)结合律：(z1·z2)·z3＝________．

(3)乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝_________. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 【解析】

因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以1

a－1＝0，a＋1＝b，

a＝1，解得b＝2，

所以a＋bi＝1＋2i. 教材整理2 共轭复数

阅读教材P59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题．

如果两个复数满足实部_相等____，虚部_____互为相反数________时，称这两个复数互为共轭复数，z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝__a-bi___. 若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________. x－2＝3x，【解析】

由题意可得y＝1，x＝－1，∴y＝1.

教材整理3 复数的除法法则

阅读教材P59“探究”以下至P60“例4”以上内容，完成下列问题．

z1a＋bi设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0且c，d∈R)，则＝z2c＋di＝

_______________i(c＋di≠0)．

7－ii是虚数单位，复数＝________. 3＋i7－i7－i【解析】

＝3＋i3＋i3－i20－10i＝＝2－i. 3－i10例1(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(

) A．－3 B．－2 2

C．2 D．3 (2)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(

) A．－2－I B．－2＋i C．2－I D．2＋i i－2(3)计算：1＋ii－1i－1＋i＝________. 【精彩点拨】

(1)利用复数的乘法运算法则进行计算．

(2)利用复数的除法运算法则进行计算．

(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．

【自主解答】

(1)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A. i＋1(2)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，

i∴z＝2－i，故选C. i－2(3)1＋ii－1

i－1＋i－1－i－2i＋2＝

i－1－1－i＋i1－3i1－3i＝＝－2＋i－2＋i＝－2－i－2－i

－2－3＋6－1i

5－5＋5i＝＝－1＋i. 5名师指津：1．复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的3

共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．

1332．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)＝±2i，－±i22211＋i1－i＝1，＝－i，＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简i1－i1＋i化复数的运算过程．

[再练一题] 1＋3i1．(1)复数等于(

) 3－iA．i B．－i C.3＋I D.3－i (2)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．

(3)计算：1＋2i＋31－i＝________. 2＋i3＋i＝

3＋i21＋3i1＋3i【解析】

(1)＝3－i3－i3＋i＋3i－3＝i. 4(2)因为z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，所以z的实部为21. 3)1＋2i＋31－i

2＋i2－3＋4i＋3－3ii＝＝

2＋i2＋ii2－i＝

5例2 已知复数z的共轭复数是z，且z－z＝－4i，z·z＝13，试4

求zz. 【精彩点拨】

设z＝x＋yix，y∈R→由条件到方程组求x，y的值→计算zz的值

【自主解答】

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得

x＋yi－x－yi＝－4i，x＋yix－yi＝13，

2yi＝－4i，即22x＋y＝13，x＝3，解得y＝－2

x＝－3，或y＝－2.

因此z＝3－2i或z＝－3－2i. 3－2i3－2i2于是＝＝3＋2i3＋2i3－2izz5－12i512z＝＝－i，或＝131313z－3－2i－3－2i25＋12i512＝＝＝＋i. －3＋2i－3＋2i－3－2i131313名师指津：1．已知关于z和z的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．

2．关于共轭复数的常用结论

(1)z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质；

(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数；

[再练一题] 5

2．已知复数z满足z·z＋2i·z＝4＋2i，求复数z. 【解】

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，

由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i ＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，

22x＋y－2y＝4，∴2x＝2，

x＝1，解得y＝3

x＝1，或y＝－1，

∴z＝1＋3i或z＝1－i. 探索点：in的值的周期性及其应用

探究1 i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？

【提示】

1，i，－1，－i. 探究2 in(n∈N)有几种不同的结果？

【提示】

四种：1，i，－1，－i. 探究3 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)结果是多少？

【提示】

in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝i(1＋i－1＋i)＝0. －23＋i22 016(1)计算：＋；

1－i1＋23i1＋i(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 016的值．

1－i【精彩点拨】

将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．

221 008i1＋23i【自主解答】

(1)原式＝＋

1＋23i1－i21 008＝i＋i1 008＝i＋i4×252＝i＋1. ＝i＋－2i6

2 0171－z(2)1＋z＋z2＋…＋z2 016＝，

1－z1＋i而z＝＝1－i1＋i22i＝＝i，

1－i1＋i22 0171－i1－i22 016所以1＋z＋z＋…＋z＝＝＝1. 1－i1－i名师点津：1．要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．

2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．

[再练一题] 1－i3．在上例(2)中，若z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 016的值．

1＋i1－i【解】

∵z＝＝1＋i1－i2－2i＝＝－i. 1＋i1－i22 0172 0171－z1－－i22 016∴1＋z＋z＋…＋z＝＝1－z1－－i1＋i2 017＝＝1－－i1＋i2 0171＋i＝＝1. 1＋i1＋i1．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(

) A．－1＋I B．－1－i C．1＋I D．1－i 2i2i1＋i【解析】

z＝＝＝－1＋i. 1－i1－i1＋i2．复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(

) A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

7

【解析】

∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．

－3＋i3．复数z＝的共轭复数是(

) 2＋iA．2＋I B．2－i C．－1＋I D．－1－i －3＋i【解析】

∵z＝＝2＋i∴z＝－1－i. －3＋i2＋i2－i－5＋5i＝＝－1＋i，

2－i5a－i4．已知a为实数，是纯虚数，则a＝________. 1＋i【解析】

a－i1＋i＝a－i1＋i1－i＝1－ia－1－a＋1i2，因为

a－i1＋i是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1. 3＋2i3－2i5．计算：－. 2－3i2＋3i3＋2i3－2i【解】

法一：－

2－3i2＋3i＝3＋2i2＋3i－3－2i2－3i2＋3i2－3i

6＋13i－6－6＋13i＋626i＝＝＝2i. 4＋9133＋2i3－2ii2－3i－i2＋3i法二：－＝－

2－3i2＋3i2－3i2＋3i＝i＋i＝2i. 四、小结 1、复数代数形式的乘、除运算. 8

2、复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3、共轭复数的

概念. 五、作业 课本61页A组4,5题 9