1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计范文

1．2独立性检验的基本思想及其初步应用

知识点一、独立性检验的有关概念

[导入新知]

1．分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

2．2×2列联表

假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称2×2列联表)为：

x1

x2

总计

3．等高条形图

将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．

4．K2统计量

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2nad－bc2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

a＋bc＋da＋cb＋d5．独立性检验

利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．

[化解疑难]

反证法原理与独立性检验原理的比较

反证法原理——在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立．

独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率. 知识点二

独立性检验的步骤

y1

a c a＋c y2

b d 总计

a＋b

c＋d

b＋d a＋b＋c＋d

1

[导入新知]

独立性检验的具体做法

(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查下表确定临界值k0. P(K2≥k0)

k0

P(K2≥k0)

k0

nad－bc2(2)利用公式K＝，计算随机变量K2的观测值k. a＋bc＋da＋cb＋d20.50

0.455

0.40

0.708

0.25

1.323

0.15

2.072

0.10 2.706 0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001 10.828 (3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

[化解疑难]

详析独立性检验

(1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有关系，属于直观判断，不足之处是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足．

(2)列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体．

题型一

列联表和等高条形图的应用

[例1]

某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．

[解]

作列联表如下：

2

考前心情紧张

考前心情不紧张

总计

相应的等高条形图如图所示：

性格内向

性格外向

332

94

426

213

381

594

总计

545 475 1 020

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．

[类题通法]

细解等高条形图

(1)绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色．

(2)等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察ac即和下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显a＋bc＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．

[活学活用]

为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：

子女吸烟

子女不吸烟

父母吸烟

父母不吸烟

237

678

83

522

总计

320 1 200

3

总计

915

605

1 520 利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？

解：等高条形图如下：

由图形观察可以看出子女吸烟者中父母吸烟的比例要比子女不吸烟者中父母吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟父母吸烟有关系”. 题型二

独立性检验的原理

[例2]

打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据：

每晚都打鼾

不打鼾

总计

根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为每晚都打鼾与患心脏病有关系？

[解]

由列联表中的数据，得K2的观测值为

1 633×30×1 355－224×242k＝

254×1 379×54×1 579≈68.033＞10.828. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每晚都打鼾与患心脏病有关系．

[类题通法]

解决独立性检验问题的思路

解决一般的独立性检验问题，首先由题目所给的2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后代入随机变量K2的计算公式求出观测值k，将k与临界值k0进行患心脏病

未患心脏病

30

24

54

224

1 355

1 579

总计

254 1 379 1 633

4

对比，确定有多大的把握认为“两个分类变量有关系”．

[活学活用]

某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？

解：根据题目所给数据得如下2×2列联表：

甲在生产现场

甲不在生产现场

总计

由列联表中的数据，得K2的观测值为

1 500×982×17－8×4932k＝≈13.097＞10.828. 990×510×1 475×25因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．

1.独立性检验与统计的综合应用

[典例]

(12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．

表1：A类工人生产能力的频数分布表

生产能力分组

人数

表2：B类工人生产能力的频数分布表

生产能力分组

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150) [110,120)

8

[120,130)

x [130,140)

3

[140,150) 2 合格品

982

493

1 475

次品

8

17

25

总计

990 510 1 500

5

人数

6

y 27

18 (1)确定x，y的值；

(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？

生产能力分组

工人类别

A类工人

B类工人

总计

nad－bc2附：K＝，

a＋bc＋da＋cb＋d2[110,130)

[130,150)

总计

P(K2≥k0)

k0

[解题流程]

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828

6

(2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：

生产能力

分组

工人类别

A类工人

B类工人

总计

20

30

50

5

45

50

25 75 100 6分

[110,130)

[130,150)

总计

由列联表中的数据，得K2的观测值为

[活学活用]

电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

7

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

男

女

总计

附：

P(K2≥k0)

k0

解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”有25名，“非体育迷”有75名，又已知100名观众

中女性有55名，女“体育迷”有10名，所以男性有45名，男“体育迷”有15名，从而可完成2×2列联表，如下表：

男

女

总计

由2×2列联表中的数据，得K2的观测值为

100×30×10－15×452k＝≈3.030. 45×55×75×25因为3.030＜3.841，所以没有充分的证据表明“体育迷”与性别有关．

8 非体育迷

体育迷

总计

0.05

3.841

0.01 6.635 非体育迷

体育迷

30

45

75

15

10

25

总计

45 55 100

[随堂即时演练]

1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(

)

解析：选D

在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D. 2．下面是一个2×2列联表：

x1

x2

总计

则表中a，b处的值分别为(

) A．94,96

C．52,54

B．52,50 D．54,52 y1

a 2

b y2

21

25

46 总计

73 27

a＋21＝73，a＝52，解析：选C

由得

a＋2＝b，b＝54.3．独立性检验所采用的思路是：要研究A，B两类型变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________．在此假设下构造随机变量K2，如果K2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．

答案：无关

不成立

4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：

①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；

9

②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；

③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．

其中说法正确的是________．

解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．

答案：③

5．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下推断：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机？

解：由已知条件得出下列2×2列联表：

男乘客

女乘客

总计

由公式可得K2的观测值

nad－bc2k＝

a＋bc＋da＋cb＋d8924×26－31×82＝≈3.689>2.706. 55×34×32×57故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．

10 晕机

24

8

32

不晕机

31

26

57

总计

55 34 89