1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质课教学设计

独立性检验的基本思想及其初步应用

对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。

如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等。

在日常生活中，主要考虑两个分类变量之间是否有关系：

例如，吸烟是否与患肺癌有关系？

性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。

两个分类变量的相关关系的分析：

②

通过图形直观判断两个分类变量是否相关；

②独立性检验。

为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：

吸烟与患肺癌列联表（列出两个分类变量的频数表）：

由列联表可以粗略估计出，在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%患有肺癌。因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异。

与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响。

等高条形图

等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。

上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。

现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设：

H0：吸烟与患肺癌没有关系

把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量

2n(adbc)K2(ab)(cd)(ac)(bd)

其中n=a+b+c+d为样本容量。

若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。

由列联表中数据，利用公式（1）计算得K2的观测值为：

9965(777549422099)2k56.632.78172148987491

在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：

P(K26.635)0.01

也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01，是一个小概率事件.现在K2的观测值为56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”

。

但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。

独立性检验：

利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。

如果k6.635

，就判断H0不成立；否则就判断H0成立。

P(k6.635)0.01

独立性检验的基本思想：

类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系”

这一结论成立的可信程度的判断：

（1）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量

没有关系”成立。

（2）在假设条件下，计算构造的随机变量K2，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理。

（3）根据随机变量K2的含义，可以通过（2）式评价假设不合理的程度，由实际计算出的k>6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%。

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为2x2列联表）为：

利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度。

具体作法是：

（1）

根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

（2）

由观测数据计算得到随机变量K2的观测值k；

（3）

如果k>6.635，就有

1-P(K2≥6.635)×100%的把握认为“X与Y

有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。

临界值

（1）如果k>10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；

（2）如果k>7.879，就有99.5%的把握认为“X与Y有关系”；

（3）如果k>6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；

（4）如果k>5.024，就有97.5%的把握认为“X与Y有关系”；

（5）如果k>3.841，就有95%的把握认为“X与Y有关系”；

（6）如果k>2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；

（7）如果k<=2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”。

例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？

例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：

由表中数据计算K2的观测值k≈4.513。在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？