2.2.2 直线方程的几种形式第一课时导学案

第2课时

直线的两点式和一般式方程

学习目标

1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法．

知识点一

直线方程的两点式

思考

过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？

答案

不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．

梳理

直线方程的两点式

名称

已知条件

P1(x1，y1)，P2(x2，两点式

y2)，其中x1≠x2，y1≠y2

知识点二

直线方程的截距式

思考

已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程．

y－0x－axy答案

由直线方程的两点式，得＝，即＋＝1. abb－00－a梳理

直线方程的截距式

名称

已知条件

在x，y轴上的截距截距式

分别为a，b，且a≠0，b≠0

知识点三

直线的一般式方程

思考1

直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？

答案

能．

xy＋＝1

ab示意图

方程

使用范围

y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1示意图

方程

使用范围

斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点

思考2

关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？

答案

一定．

梳理

直线的一般式方程

形式

条件

知识点四

直线方程五种形式的比较

名称

点斜式

斜截式

已知条件

点P1(x1，y1)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b 两个独立的条件

标准方程

y－y1＝k(x－x1)

y＝kx＋b y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1xy＋＝1

abAx＋By＋C＝0

适用范围

不垂直于x轴的直线

不垂直x轴的直线

Ax＋By＋C＝0 A2＋B2≠0 两点式

不垂直于x，y轴的直线

不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线

A，B不全为零

截距式

一般式

1．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(

√

) 2．当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．(

×

) 3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(

×

)

类型一

直线的两点式方程

例1

在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)．

(1)求BC边的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

解

(1)BC边过点B(5，－4)，C(0，－2)，

y－－4x－5由两点式，得＝，

－2－－40－5即2x＋5y＋10＝0，

故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．

(2)设BC的中点为M(a，b)，

5＋05－4＋－2则a＝＝，b＝＝－3，

2225所以M2，－3. 又BC边的中线过点A(－3,2)，

y－2x－－3所以＝，

－3－25－－32即10x＋11y＋8＝0，

所以BC边上的中线所在直线的方程是10x＋11y＋8＝0. 反思与感悟

当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．

跟踪训练1

已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．

解

∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，

∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式，

y－1x－4可得直线AC的方程为＝，

－1－12－4即x－y－3＝0. 同理由直线方程的两点式，

y－2x－2得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 1－24－2类型二

直线的截距式方程

例2

求过点A(5,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．

2解

方法一

(1)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；

5(2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，

xy可设方程为＋＝1，即x－y＝a. a－a又∵l过点A(5,2)，

∴5－2＝a，解得a＝3. ∴l的方程为x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程为2x－5y＝0或x－y－3＝0. 方法二

由题意知，直线的斜率一定存在．

设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，

2当x＝0时，y＝2－5k；当y＝0时，x＝5－. k25－. 根据题意，得2－5k＝－k2解得k＝或1. 522当k＝时，直线方程y－2＝(x－5)，

55即2x－5y＝0；

当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，

即x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程为2x－5y＝0或x－y－3＝0. 引申探究

1．若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？

解

(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，

2方程为y＝x，即2x－5y＝0，符合题意．

5xy(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1. 2aa又l过点(5,2)，

52∴＋＝1，

2aa9解得a＝. 2∴直线l的方程为x＋2y－9＝0. 2．若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的9面积是”，其他条件不变，如何求解？

2解

由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在．

xy设其方程为＋＝1，

aba＋b＝1，

①∴19|a||b|＝，

②22②可化为ab＝±9，

52

52a＋b＝1，由解得此方程组无解；

ab＝9，52a＋b＝1，由

ab＝－9，

解得6b＝515a＝－，2

或a＝3，b＝－3.

∴l的方程为4x－25y＋30＝0或x－y－3＝0. 反思与感悟

(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．

(2)在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．

跟踪训练2

过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(

) A．2条

B．3条

C．4条

D．无数多条

答案

B 1解析

当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－x，

3xy当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，

ab3－1∴＋＝1，|a|＝|b|，∴{a＝2，b＝2

或{a＝4，b＝－4，

ba

xyxy即直线方程为＋＝1或＋＝1，

224－4∴满足条件的直线共有3条．故选B. 类型三

直线的一般式方程

例3

设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；

(2)若直线l的斜率为1，则m＝________. 5答案

(1)－

(2)－2 32m－6解析

(1)令y＝0，则x＝2，

m－2m－3∴2m－65＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．

3m－2m－325∴m＝－. 3

(2)由直线l化为斜截式方程，

m2－2m－36－2m得y＝2x＋2，

2m＋m－12m＋m－1m2－2m－3则2＝1，

2m＋m－1解得m＝－2或m＝－1(舍去)．

∴m＝－2. 反思与感悟

(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．

(3)解分式方程注意验根．

跟踪训练3

直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0. (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

解

(1)令x＝0，则y＝a－2，

a－2令y＝0，则x＝. a＋1∵l在两坐标轴上的截距相等，

a－2∴a－2＝，

a＋1解得a＝2或a＝0. a－2(2)由(1)知，在x轴上的截距为，

a＋1在y轴上的截距为a－2，

a－2≥0，a＋1∴由题意得解得a＜－1或a＝2. a－2≤0，∴实数a的取值范围为{a|a＜－1或a＝2}.

1．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是(

) A．30°

C．150°

答案

C B．60°

D．120°

解析

因为直线的斜率k＝－3，所以倾斜角为150°，故选C. 32．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为(

) A．2

C．－27

答案

D x＋3y－6解析

由两点式得直线方程为＝，

2＋35－6即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27. 3．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过(

) A．第一、二、三象限

C．第一、三、四象限

答案

C ac解析

由ax＋by＝c，得y＝－x＋，

bba∵ab<0，bc<0，∴直线的斜率k＝－>0，

bc直线在y轴上的截距<0. b由此可知，直线通过第一、三、四象限．

4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．

答案

2x－y＋1＝0 解析

AB的中点坐标为(1,3)，

由直线的两点式方程，可得即2x－y＋1＝0. 5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．

解

设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，

xy所以直线l的方程为＋＝1. a6－a12又因为点(1,2)在直线l上，所以＋＝1，

a6－a解得a＝2或3. 当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；

当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．

综上所述，所求直线的方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.

y－3x－1＝，

5－32－1B．第一、二、四象限

D．第二、三、四象限

B．－3 D．27

1．求直线的两点式方程的策略以及注意点

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．

(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．

2．截距式方程应用的注意事项

(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．

(2)在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．

(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．

3．(1)直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤

①移项，By＝－Ax－C；

AC②当B≠0时，得y＝－x－. BB(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，

C若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；

BC若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线. A

一、选择题

1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(

) A．－2

C．－3

答案

D 2m2－5m＋2解析

由已知，得m－4≠0，且＝1，解得m＝3. m2－42B．2 D．3 2．在x轴和y轴上的截距分别为－2,3的直线方程是(

) xyA.＋＝1

3－2xyC.＋＝1

－23xyB.＋＝1 2－3xyD.＋＝1 －32

答案

C 3．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x－y－3＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(

) A.3，1

C．－3，1

答案

D xy1解析

原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1. 11baba又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且3x－y－3＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°，∴ab＝－3，故选D. 4．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于(

) A．－3

1C.

3答案

D 解析

由点(1，－1)在直线上，可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋13ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－. 35．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(

) A．2x＋y－8＝0

C．2x＋y－12＝0

答案

A 解析

由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线MN的方程为即2x＋y－8＝0. 6．下列命题正确的是(

) y－y1x－x1A．过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程可以写成＝

y2－y1x2－x1B．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线斜率为－1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 答案

C y－y1x－x1解析

当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成＝，故A错误；当直线过原点时，y2－y1x2－x1y－4x－2＝，2－43－2B．2x－y＋8＝0 D．2x－y－12＝0 B．3 1D．－

3B.3，－1 D．－3，－1

在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．

7．利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则直线AB在直角坐标系中的方程为(

)

A．x＋y＝1

yC．x＋＝1

2答案

D 解析

由斜二测画法可知在直角坐标系中，A(1,0)，B(0，－2)，由截距式方程可得直线方程y为x－＝1. 28．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(

) B．x－y＝1 yD．x－＝1 2

答案

C 解析

将l1与l2的方程化为斜截式，得

y＝ax＋b，y＝bx＋a，

根据斜率和截距的符号可得C正确．

二、填空题

xy9．已知直线＋＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________．

a6答案

±2 xy1解析

由＋＝1知，S＝|a|·6＝6，

a62所以a＝±2. 10．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为________．

3答案

2，＋∞

解析

直线方程(2t－3)x＋y＋6＝0可化为y＝(3－2t)x－6.

－6≤03由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得t≥. 23－2t≤0，

11．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为__________．

答案

3x＋2y＝0或x－y＋5＝0 解析

①当直线过原点时，设方程为y＝kx，

33∴k＝－，∴直线方程为y＝－x；

22xy②当直线不过原点时，设＋＝1，

a－a∴将点(－2,3)代入，得a＝－5，

∴直线方程为x－y＋5＝0. ∴所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y＋5＝0. 三、解答题

12．求斜率与直线4x＋3y＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距．

解

设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是dd1ddd2－，－，∴6＝×－3×－4＝，∴d＝±12. 34224∴直线在x轴上截距为3或－3. 13．已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．

(1)求顶点C的坐标；

(2)求直线MN的方程．

解

(1)设M(0，m)，N(n,0)，

xC＋xA＝2xM则yC＋yA＝2yM，

xC＋xB＝2xN

y＋y＝2y，CBN

所以xC＝0－5＝－5，yC＝0－3＝－3，

所以点C的坐标为(－5，－3)．

5(2)因为2m＝yC＋yA＝－3＋(－2)＝－5，故m＝－.因为2n＝xC＋xB＝－5＋7＝2，故n＝1. 2xy所以直线MN的方程为＋＝1，

15－2即5x－2y－5＝0.

四、探究与拓展

14．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－(4m－1)＝0在x轴上的截距等于1，则m的值为(

) A．2

1C．－2或

2答案

B 4m－1解析

由题意知，2m2＋m－3≠0.令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝2＝1，解2m＋m－31得m＝2或m＝－.故选B. 215．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．

(1)证明

将直线l的方程整理，得

13x－，

y－＝a551313，，而点A，在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一∴l的斜率为a，且过定点A5555象限．

3－05(2)解

如图，直线OA的斜率为k＝＝3. 1－051B．－或2 2D．以上都错

要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，

a－3即当x＝0时，y＝－≤0，

5∴a≥3. 即a的取值范围为[3，＋∞)．