3.三个正数的算术-几何平均不等式ppt课件配套教案内容

1.1.3 三个正数的算术几何平均数

一、教学目标

1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程．

2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．

3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．

四、教学难点

会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

五、教学过程

（一）导入新课

a2b22ab,a、bRab2

当且仅当ab基本不等式：ab,a0,b0时，取“=”

（二）讲授新课

教材整理1

三个正数的算术-几何平均不等式

1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3

3abc，当且仅当

时，等号成立．

a＋b＋c32．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么

abc，当且仅当

时，等号成3立．

即三个正数的算术平均

它们的几何平均．

教材整理2

基本不等式的推广

a1＋a2＋…＋an对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均

它们的几何平均，即

nna1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

教材整理3

利用基本不等式求最值

若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么

时，积abc有

值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和

有最小值．

（三）重难点精讲

题型一

利用平均不等式求最值

1

例1 如果x

0，求2x1x2的最小值？

4[再练一题] 若2a＞b＞0，试求a＋的最小值. 2a－bb2a－b＋b44【解】

a＋＝＋

22a－bb2a－bb＝2a－bb4＋＋

222a－bb32a－bb4≥3···＝3，

222a－bb2a－bb4当且仅当＝＝，

222a－bb即a＝b＝2时取等号．

所以当a＝b＝2时，

4a＋有最小值为3. 2a－bb例2.求函数y

例3.设x,

y,z0x(15x),(0x215)的最小值？

且x3y4z6，则x2yz3的最大值？

2

变式训练：若a,b,c

（四）归纳小结

0，且abc1，则1a1b1c的最小值？

平均不等式——利用平均不等式求最值—利用平均不等式证明—平均不等式的理解（五）随堂检测

1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(

) 33A．36

B．22

C．12

D．125 【解析】

∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z

3＋＋3≥32x·22y·23z＝32x2y3z＝12. 2当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．

3【答案】

C 12．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(

) ba－bA．0

B．1

C．2

D.3 3111【解析】

∵a＋＝(a－b)＋b＋≥3a－b·b·＝3，当且仅当a＝ba－bba－bba－b12，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.故选D. ba－b【答案】

D 3．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________，最小值为________．

【解析】

∵y2＝16sin2

x·sin2x·cos2x

＝8(sin2x·sin2x·2cos2x) sinx＋sinx＋2cosx3≤83

864＝8×＝，

2727222

3

64∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，27即tan x＝±2时取等号．∴ymax＝[来源:Z.xx.k.Com][来源学科网ZXXK]

883，ymin＝－3. 99883

－3 99【答案】

六、板书设计

1.1.3 三个正数的算术几何平均数

教材整理1

三个正数的算术-几何平均不等式

教材整理2

基本不等式的推广

教材整理3

利用基本不等式求最值

七、作业布置

同步练习：1.1.3 三个正数的算术几何平均数

八、教学反思

例2：

例3：

学生板演练习

例1：

4