二 综合法与分析法第二课时 公开课

课 题： 不等式的证明方法之二：综合法与分析法

目的要求： 1、理解综合法和分析法的概念

2、掌握综合法和分析法的证明过程。

重点： 握综合法和分析法的证明不等式的基本步骤。

难点： 1、理解综合法和分析法的数学思想。

2、会灵活运用这两种方法证明不等式。

教学过程：

一、引入：

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，AB2AB是常常要用到的一个重要不等式。

二、典型例题：

例1、a,b都是正数。求证：2222ab2.

ba证明：由重要不等式AB2AB可得

abab22.

baba本例的证明是综合法。

3322例2、设a0,b0，求证ababab.

证法一

分析法

3322要证ababab成立. 只需证(ab)(aabb)ab(ab)成立，

又因ab0，

22只需证aabbab成立，

2222又需证a2abb0成立，

即需证(ab)0成立. 而(ab)0显然成立. 由此命题得证。

22

证法二

综合法

(ab)20a22abb20a2abb2ab

注意到a0,b0，即ab0，

由上式即得(ab)(a2abb2)ab(ab)，

从而a3b3a2bab2成立。

议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

例3、已知a，b，m都是正数，并且ab.求证：ama.

（1）

bmb证法一

要证（1），只需证b(am)a(bm)

（2）

要证（2），只需证bmam

（3）

要证（3），只需证ba

（4）

已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。

证法二

因为

ba,m是正数，所以bmam

两边同时加上ab得b(am)a(bm)

两边同时除以正数b(bm)得（1）。

读一读：如果用PQ或QP表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是

（1）(2)(3)(4).

而采用综合法的证法二就是

(4)(3)(2)(1).

如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有PQ,QP，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为PQ.在例2中，由于b,m,bm都是正数，实际上

(1)(2)(3)(4).

例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长LLL为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形为，截面2422

LLL积为。所以本题只需证明。

424L证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形2LLL的水管的截面面积为。只需证明：。

4242222222L2L2为了证明上式成立，只需证明。

4216411。

，得：4L2因此，只需证明4。

两边同乘以正数LL上式显然成立，所以

。

24这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

例5、证明：a2b2c2abbcca。

证法一

因为

a2b22ab

（2）

22

bc2bc

（3）

2222

ca2ca

（4）

所以三式相加得2(abc)2(abbcca)

（5）

两边同时除以2即得（1）。

法二222证

因为a2b2c2(abbcca)所以（1）成立。

111(ab)2(bc)2(ca)20,

22222例6、证明：(ab)(cd)(acbd).

（1）

证明

（1）(ab)(cd)(acbd)0

（2）

22222222a2c2b2c2a2d2b2d2(a2c22abcdb2d2)0

（3）



b2c2a2d22abcd0

（4）



(bcad)20

（5）

（5）显然成立。因此（1）成立。

例7、已知a,b,c都是正数，求证a3b3c33abc.并指出等号在什么时候成立？

分析：本题可以考虑利用因式分解公式

a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)

着手。

证明：

a3b3c33abc

=(abc)(a2b2c2abbcca)

=1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2].

2

由于a,b,c都是正数，所以abc0.而(ab)2(bc)2(ca)20，

可知a3b3c33abc0

即a3b3c33abc（等号在abc时成立）

333探究：如果将不等式abc3abc中的a3,b3,c3分别用a,b,c来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(1ab)(1bc)(1ca)27，其中a,b,c是互不相等的正数，且abc1.

三、小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

四、练习：

1、已知x0,求证：x12.

x2、已知x0,y0,xy,求证114.

xyxy3、已知ab0,求证ab4、已知a0,b0.求证：

（1）(ab)(a1b1)4.

ab.

（2）

(ab)(a2b2)(a3b3)8a3b3.

5、已知a,b,c,d都是正数。求证：

（1）abcdabcd4abcd;

（2）abcd.

246、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(abc)(abbcca)9abc.

五、作业：