3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义名师课堂实录

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义）（教案）

日喀则市第三高级中学 陈再义

高考要求：

1.知道复数代数形式的加、减法运算法则．

2.理解复数代数形式的加、减法运算的几何意义. 教学目标：

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义

情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)

理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．

教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教学过程：

一．学生探究：

1. 与复数一一对应的有？

2. 试判断下列复数14i,72i,6,i,20i,7i,0,03i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3. 同时用坐标和几何形式表示复数z114i与Z272i所对应的向量Z1 与Z2，并计算OZ1OZ2。向量的加减运算满足何种法则？

4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？

二、讲授新课：

1.复数的加法运算和减法运算

①.复数的加法法则：z1abi与Z2cdi，则Z1Z2(ac)(bd)i。

②.复数的减法法则：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算, 即若Z1ZZ2，则Z叫做Z2减去Z1的差,记作ZZ2Z1。

所以z1abi与Z2cdi，则Z1-Z2（a-c）（b-d）i

③.复数加法的运算律

交换律：Z1Z2Z2Z1

结合律：

（Z1Z2）Z3Z1（Z2Z3）例1 计算（1）(14i)+(72i) （2）(72i)+(14i) （3）[(32i)+(43i)](5i) （4）(32i)+[(43i)(5i)]

观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。

例2 例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14i),(72i)，(32i),(43i),(5i)所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。

④讨论：若Z1ab,Z2cdi，试确定ZZ1Z2是否是一个确定的值？

（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）

2．复数加法、减法的几何意义

如图：设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 （OZ）；复数z1－z2对应的向量是 （Z2Z1），连接两向量OZ1，OZ2的 （终点），并指向被减向量的终点．

1

复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则），复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。

练习与检测：

（1）已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(

) A．8i

B．6 C．6＋8i D．6－8i （2）若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(

) A．0 B．2i C．6 D．6－2i 3．向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是(

) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i 例3

计算下列各题：

(1)(2－3i)＋－2＋3i1i1i＋1； (2)－2－3－3－2＋i；

2(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．

归纳小结：

1．复数的加减法运算就是把复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

2．把i看成一个字母，类比多项式加减法中的合并同类项，但i一定要写成－1. 练习与检测：

1．已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z. 2．（2016全国I文2）设复数z满足z＋i＝3－i，则Z=（ ）. A.－1＋2i B.1－2i C.3＋2i D.3－2i 例4

复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点(如图所示)，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

2归纳总结：

(1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．

2

(2)利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．但要注意加法“首尾相接”和减法的“指向被减向量”．

(3)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．

练习：

（1）在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．

（2）若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝(

) A．－2

B．2

C．－1 D．1 →→（3）在复平面内，点A对应的复数为2＋3i，向量OB对应的复数为－1＋2i，则向量BA对应的复数为(

) A．1＋5i B．3＋i C．－3－i D．1＋i （4）实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________．

3.课堂小结

（1）复数的加减法运算就是把复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

（2）把i看成一个字母，类比多项式加减法中的合并同类项，但i一定要写成－1. （3）根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．

（4）利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．但要注意加法“首尾相接”和减法的“指向被减向量”．

4.课后作业：

P61 习题3.2 A组 1、2、3

备选作业题：

23i29i2i

1．计算：（1）84i5（2）54i3i（3）3

2．若(310i)y(2i)x19i，求实数x,y的取值。

变式：若(310i)y(2i)x表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a的取值。

23．三个复数Z1,Z2,Z3，其中Z13i，Z2是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定Z2,Z3的值。

3