三 排序不等式教学设计(第二课时)

排序不等式

目的要求：掌握排序不等式的各种形式及应用。

重点难点：排序不等式的各种形式及应用。

教学过程：

一、引入：

1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？

二、排序不等式：

1、基本概念：

一般地，设有两组数：a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：

对

应

关

系

（a1，a2，3）

bbb（1，2，3）

和

备

注

同序和

乱序和

乱序和

乱序和

乱序和

反序和

aS1a1b1a2b2a3b3

S2a1b1a2b3a3b2

S3a1b2a2b1a3b3

S4a1b2a2b3a3b1

S5a1b3a2b1a3b2

S6a1b3a2b2a3b1

a3）

b（b1，3，b2）

a

（a1，a2，3）b

b1，（b2，

3）a

（a1，a2，3）bb1）（b2，

3，

aaa（1，2，3）

b（3，b1，b2）

aaa（1，2，3）

bbb（3，2，

1）

（a1，a2，结论：同序和a1b1a2b2a3b3最大，反序和a1b3a2b2a3b1最小。

2、对引例的验证：

对

应

关

系

（1，2，3）

（25，30，45）

（1，2，3）

（25，45，30）

和

备

注

同序和

乱序和

S1a1b1a2b2a3b3220

S2a1b1a2b3a3b2205

（1，2，3）

（30，25，45）

（1，2，3）

（30，45，25）

（1，2，3）

（45，25，30）

（1，2，3）

（45，30，25）

S3a1b2a2b1a3b3215

S4a1b2a2b3a3b1195

S5a1b3a2b1a3b2185

S6a1b3a2b2a3b1180

乱序和

乱序和

乱序和

反序和

3、类似的问题：5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

4、排序不等式的一般情形：

一般地，设有两组实数：a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn，且它们满足：a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列，则和数a1c1a2c2ancn在a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn同序时最大，反序时最小，即：a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1，

等号当且仅当a1a2an或b1b2bn时成立。

三、典型例题：

a2b2b2c2c2a2abc。

例1、已知a,b,c为正数，求证：abc

例2、设a1，a2，a3，…，an为正数，求证：aaa1a。

2n1na1a2ana2a3ana12222

练：1、求证：abcdabbccdda。

2、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边a,b,c上的高，求证：2222asinA+bsinB+csinCha +

hb +hc

．

6622333、若a>0,b>0，则abababab．

2222

4、在△ABC中，求证：a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc．

5、若a1，a2，…，an

为两两不等的正整数，求证：ak1．

2nnk1kk1k

6、若x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤1，则(1x1)(1x2)(1xn)1

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