一 数学归纳法教学设计内容推荐

教材背景：

归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用．

教学课题：数学归纳法

教材分析：

“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。

教学目标

1、知识和技能目标

(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）

(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。

(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。

2、过程与方法目标

通过对归纳法的复习（故事引入），说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

教学重点和难点

教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质

。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。 教学难点：（1）数学归纳法的原理；

教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法

教学过程：

（一）故事引入，问题深入

问题 1 从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里,儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”于是，财主很高兴，把教书先生给辞退了。

有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。可是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说：“你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸了，才刚刚写完三千横！

问题2 对于数列an,若a11,an1an1an.问：an?如何证明猜想的正确性？

（二）新课讲解

1、多米诺骨牌实验(观看试验和视频)

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）第一块骨牌倒下 （奠基作用）

（2）如果第k块倒下时，一定能导致第k+1块也倒下（递推作用）

于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

2、类比得出数学归纳法

多米诺骨牌游戏原理 （1）第1块骨牌倒下。 (1)当n=1时，验证猜想正确。

（2）如果第k块倒下时， (2)如果n=k时猜想成立 一定能导致第k+1块也倒下。 一定能推出当n=k+1时猜想也成立

根据(1)和(2)，可知不论有 根据(1)和(2)，可知对所有的正

多少个骨牌都能全部倒下。 整数n，猜想都成立。

3、规范格式

例1、对于数列an,若a11,an1an1an.

(1)

(2)

(3)

当n=1时，a11假设当n=k当n=k+1时，

1,命题成立。（依据）

1时，

命题成立,

即ak1k,

1ak1

k11

1（归纳递推）

k1k既当n=k+1时，命题成立. 由(1)(2)知，an1n(nN*)成立.（结论）

4、归纳总结

数学归纳法证明步骤：

(1)验证当n取第一个值n0（如n0=1或2时）命题正确。

(2)假设当nk时(kN,kn0)命题正确，证明nk1时命题也正确。

5、重点关注

(1) 第一步，是否可省略？ 不可省略

(2)第二步，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？

（三）、易错探究

1、项数问题

例2.用数学归纳法证明：

1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) (nN*)

1.当n＝1时，左边= ；

2.当n＝2时，左边= .

3.当n＝k时，左边= .

4.当n＝k+1时，此时左边比n=k时多了几项？ .

当n＝k+1时，左边= .

2、利用“假设”推演

2122用数学归纳法证明：2n12n1.

（思考：n=k+1时，能否直接利用等比数列前n项和公式验证）

3.起始项问题以及不等式问题

n2*讨论2与n的大小（nN)

问题：（该问题注意一下几点：1、归纳规律的时候应多观察几项；2、利用数学归纳法根据猜想决定首项的选取；3、利用假设作为条件验证下一步，明确目标）

（四）、课堂小结

1.数学归纳法能够解决哪一类问题？

用于证明某些与正整数有关的数学命题。

2.数学归纳法证明命题的步骤？

(1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确；

(2)假设当n取k时结论正确，推导n取k的下一个值时结论也正确. 3.数学归纳法证明命题的关键？

在第二步推导中归纳假设要用到。

4.数学归纳法体现的核心思想？

递推思想，用“有限”的推理，解决“无限”的问题。

（五）、预习：用数学归纳法证明不等式

（六）、课后反思

1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教

学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．

3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．