二 一般形式的柯西不等式优质课教案设计

选修4-5

江门一中2019届2017—2018学年度高二理科数学导学案

授课人：毛水平

班级：高二<7>班

第三讲 柯西不等式与排序不等式

3.1 二维形式的柯西不等式

3.2 一般形式的柯西不等式

[问题提出] 你能用哪些方法解决下列问题：已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是______．

[学习目标]

1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义．

2.通过对二维柯西不等式多种形式的证明，掌握它们之间的关系，进一步理解柯西不等式的意义(重点)．

3.认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能利用柯西不等式解决问题(重点、难点)

4.经历由二维形式的柯西不等式向n维形式的柯西不等式的类比过程，发现柯西不等式的实质(难点)．

[知识提炼·梳理] 1．定理1(二维形式的柯西不等式) 若a，b，c，d都是实数，则

，当且仅当

时，等号成立．

2．定理2(柯西不等式的向量形式) 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

3．定理3(二维形式的三角不等式) 222设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y1＋x2＋y2≥

（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 当且仅当存在非负实数μ及λ，使得

时，等号成立．

4．一般形式的柯西不等式

定理

设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则

_________________________________________________，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(

)

1

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班级：高二<7>班

(2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d都是实数)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(

) 22222(3)如果a1＋a22＋…＋an＝b1＋b2＋…＋bn＝1，那么－1≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤1.(

) (4)如果ai∈R(i＝1，2，…，n)，那么22a21＋a2＋…＋an.(

) na1＋a2＋…＋an≤n2．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(

) A．1

B．2

C.2

D．4 3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(

) 1A．ab≤

2C．a2＋b2≥2

1B．ab≥

2D．a2＋b2≤3 4. 已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是________．

5．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为__________．

类型1

利用柯西不等式求最值(自主研析) [典例1]

(1)求函数f(x)＝x－6＋12－x的最大值及此时x的值；

123(2)已知a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．

归纳升华

1．我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的，在应用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而且要善于构造，技巧如下：

(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)改变结构；(4)添项．

2．求某些解析式的最小值时，要把这个解析式看成柯西不等式的左边构造不等式；求某个解析式的最大值时，要把这个解析式看成柯西不等式的右边构造不等式．在构造过程中系数的选择是关键，应在反复训练的基础上思考、总结，找出规律和方法，形成技能．

2

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班级：高二<7>班

[变式训练]

已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．

类型2

利用柯西不等式证明不等式

a2b2[典例2]

(1)设a，b∈R，且a＋b＝2.求证：＋≥2；

2－a2－b＋(2)已知a，b，c∈R，求证：

abcbcab＋c＋aa＋b＋c≥9. 

归纳升华

利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法，才能发现问题的突破口．

＋111

[变式训练]

已知a，b，c大于0，且a＋＋＝1，求证：a＋2b＋3c≥9.

2b3c

类型3

柯西不等式的综合应用(规范解答) [典例3]

(2015·陕西卷)(本小题满分10分)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．

(1)求实数a，b的值；

(2)求at＋12＋bt的最大值．

审题指导：(1)将原不等式去掉绝对值，对比已知的解集可求得a，b的值．(2)运用柯西不等式求最值．

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班级：高二<7>班

[规范解答]

(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，(2分)

－b－a＝2，则解得a＝－3，b＝1.(5分)

b－a＝4，(2)－3t＋12＋t＝3·4－t＋t≤[（3）2＋12] [（4－t）2＋（t）2]＝24－t＋t＝4.(7分)

当且仅当4－tt＝，即t＝1时等号成立，(9分)

13故(－3t＋12＋t)max＝4.(10分) [类题尝试]

(2015·福建卷)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.

(1)求a＋b＋c的值；

11(2)求a2＋b2＋c2的最小值．

49

1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．

2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号取到的条件是要从推导过程来理解的．

3．证明一般形式的柯西不等式，要先构造二次函数，再利用配方法，通过讨论相应的判别式来证明，特别要掌握等号成立的充分必要条件．

4．对一般形式的柯西不等式，应注意整体的结构特征，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活运用．

【课后练习】金版学案33页至34页练习题 20180613

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