2.基本不等式教学设计内容推荐

基本不等式教案

一、教学目标：

1、知识与技能：

①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；

②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。

2、过程与方法：

本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。

3、情感与价值：

培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。

二、教学重点和难点：

重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式abab的多种解释；

2难点：理解“当且仅当ab时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。

三、学法与教学用具：

先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，使用多媒体(几何画板)进行教学。

四、教学设计：

1、创设情境，提出问题

今有一天平，两臂不等长，用它称量物体，将物体放在左右托盘各称一次，称得重量分别为a,b 。

问1、能否用a,b的平均值表示物体真实重量？

问2、a,b的平均值为ab,物体的真实重量为ab，这两者的大小关系如何？

22、借助赵爽弦图，得出结论

如图，这是在北京召开D的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国a古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好b客。

A思考1、正方形ABCD

的面积S=__________ 结论：

S=a2+b2思考2、四个直角三角形的面积和S’ =______ 结论：

S=2ab思考３、S与S’有什么样的不等关系？

结论：

a2b22ab3、问题解决

思考1、该结论成立的条件是什么

？

结论：a、b为正实数。

思考2、公式中等号成立的条件是什么？

结论：当且仅当ab时等号成立。

思考3、不等式左右两边有何种运算结构？

结论：左边为和，右边为积。

思考4、以下不等式成立吗？

a2b22ab

a2b2|2ab|

1x2x22

思考5、若用a、b替换其中的a、b，又能得到何结论？

结论：不等式即变为a+b≥2ab，当且仅当ab时等号成立。

思考6、结论a+b≥2ab中，a、b又需要满足何种条件？

结论：此时要求有a0 ,b0

思考7、结论a+b≥2ab中，你能做哪些变形处理？

结论：ababab2，ab(2)2

思考8、若a、b为正实数，则ab2ab如何证明？



1 作差比较法；



2 换元法；

CB



3 反证法；



4 几何解释法：集合画板验证

思考9、若a、b为正实数，则abab，当且仅当a=b时等号成立。

2（1）不等式两边各有何特点？

（2）如何用语言描述该不等式？

结论：称ab为a ,b的几何平均数；称ab为a ,b的算术平均数。

2（3）你还能怎样理解该不等式？

结论：基本不等式abab的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

2形成结论：a2b22ab

基本不等式：若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2

4、定理应用、例题剖析

ba例1．已知ab>0，求证：2，并推导出式中等号成立的条件。

ab1

(x练习:求函数

y



x



0)

的值域

x

1

(x变式练习：求函数

y



x



0)

的值域

x

例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

分析：

在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；

在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。

归纳总结：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。

2x2x3(x0)的最大值，及此时x的值。

例3．求函数

f(x)x分析：

1、

是否能凑出定值？

2、

是否满足均值不等式成立的条件

练习：下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？

1１．

已知函数f(x)=x+

，求函数的最小值和此时x的取值．

x

解:f(x)x1112x2当且仅当x即x1时函数取到最小值2.

xxx结论：

运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．

２．已知函数f(x)=x+3(x>2)，求函数的最小值．

x-2x233解：f(x)x2x当且仅当

3即x3时，函数的最小值是6。x2x2xx2结论：用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．

3.

求函数ysinx4其中x（0，]的最小值。

sinx2解：ysinx44

2sinx4,函数的最小值为4。sinxsinx结论：用均值不等式求最值,必须注意

“相等”

的条件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

补充练习：

1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．

2．已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．

113．已知x>0,y>0,且x+2y=1,求u=+的最小值．

xy5、归纳总结：

①通过本节课的学习，你学到了什么知识？

②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？

综合学生的回答，教师再在此基础上总结：

ab（当且仅当ab时，等号成立）

2（2）运用基本不等式解决简单最大最小值问题，掌握解题的基本方法；在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，把握“一正、二定、三相等”。当条件不完全具备时，应创造条件使之具备条件。一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值;见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值.”。

（3）数学思想与方法技巧：

数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般）；基本不等式的几何解释（数形结合）；数形结合思想、“整体与局部”. 方法技巧：（1）换元法、比较法、分析法（2）配、凑等技巧。

（1）基本不等式：

若a,bR，则ab6、测评设计：

（1）基本作业：补充练习

（2）提高练习：

①求y23x4的最小值（其中x1）. x1

②已知0x，求ysinx③已知x0 ,y0，且1的最小值．

sinx281，求xy的最小值．

xy④设x ,yR，且xy2，求3x3y的最小值．

⑤已知正数x ,y满足x2y1，求11的最小值

xy