二 用数学归纳法证明不等式第二课时教案

第四讲数学归纳法证明不等式复习

一、复习目标

掌握数学归纳法证明问题的基本思路

二、课时安排

1课时

三、复习重难点

掌握数学归纳法证明问题的基本思路

四、教学过程

（一）知识梳理

数学归纳—法原理—

①

—整除问题数学归—纳法数学归纳法—几何问题——应用举例—

③

—

②

——其他不等式

（二）题型、方法归纳

归纳递推要用好归纳假设

不等式证明中的强化命题

从特殊到一般的数学思想方法

（三）典例精讲

题型一、归纳递推要用好归纳假设

数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用．在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n＝k时命题成立)，推出n＝k＋1时，命题成立．

例1

用数学归纳法证明：对于n∈N＋，

1111n＋＋＋…＋＝. 1·22·33·4n＋1n(n1)111【规范解答】

(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，所以等式成立．

1·222(2)假设n＝k时等式成立，即

1

1111k＋＋＋…＋＝，

1·22·33·4kk＋1k＋1当n＝k＋1时，

k2＋2k＋1k＋111111k1＋＋＋…＋＋＝＋＝＝，

1·22·33·4kk＋1k＋1k＋2k＋1k＋1k＋2k＋1k＋2k＋2所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知对于任意的自然数n，等式都成立．

[再练一题] 11．数列nn＋1的前n项的和记为Sn. (1)求出S1，S2，S3的值；

(2)猜想出Sn的表达式；

(3)用数学归纳法证明你的猜想．

123【解】

(1)S1＝，S2＝，S3＝. 234n(2)猜想：Sn＝. n＋111(3)证明：①当n＝1时S1＝a1＝，右边＝.等式成立．

22k②假设当n＝k时，Sk＝，

k＋1(k1)1k＋1k则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝＋＝＝k＋1(k1)(k2)k＋2(k1)(k2)k1，

(k1)1即当n＝k＋1时，等式成立，

n∴Sn＝. n＋1题型二、不等式证明中的强化命题

如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)

111例2证明不等式2＋2＋…＋2<1(n≥2，n∈N＋)．

23n1111【规范解答】

可先证明2＋2＋…＋2<1－(n≥2)，(*) 23nn对(*)运用数学归纳法证明：

2 2

(1)当n＝2时，(*)显然成立．

1111(2)设n＝k时，不等式(*)成立，即2＋2＋…＋2<1－. 23kk当n＝k＋1时，

11111111111－<1－＋<1－＋＝1－＋＝1－2＋2＋…＋2＋23kk(k1)2kk(k1)kkk＋1(k1)21. k＋1故当n＝k＋1时，不等式(*)成立．

根据(1)和(2)知，对n∈N＋且n≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立．

[再练一题] 12．设0

an1求证：对一切正整数n∈N＋，有1

(1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜，显然命题成立．

1－a1(2)假设n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即1＜ak＜. 1－a1当n＝k＋1时，由递推公式，知ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. ak1－a211同理，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜. ak1－a1－a1故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜. 1－a综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1＜an＜题型三、从特殊到一般的数学思想方法

探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法．

例3

已知数列{bn}是等差数列，且b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145. (1)求数列{bn}的通项公式bn；

11＋(其中a＞0，(2)设数列{an}的通项an＝loga且a≠1)，Sn是数列{an}的前n项和．试bn1. 1－a1比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论．

3b＝1，1【规范解答】

(1)设数列{bn}的公差为d.由题意得

1010－110b＋d＝145，12

3

b1＝1，解得

d＝3，

故bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)由bn＝3n－2知，

111＋＋…＋loga1＋Sn＝loga(1＋1)＋loga3n－2

4＝loga＋1＋1…1＋1. 43n－231又logabn＋1＝loga3n＋1，

311＋1…1＋1与33n＋1的大因此要比较Sn与logabn＋1的大小，可先比较(1＋1)·43n－23小．

3取n＝1，有(1＋1)＞3·1＋1；

131＋＞3·取n＝2，有(1＋1)2＋1. 41311＋…1＋由此推测(1＋1)3n－2＞3n＋1.①

4若①式成立，则由对数函数性质可判定：

1当a＞1时，Sn＞logabn＋1；

31当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1. 3下面用数学归纳法证明①式成立：

a．当n＝1时，已验证①式成立．

b．假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时①式成立，

1311＋…1＋即(1＋1)3k－2＞3k＋1. 431111＋11＋…1＋那么，当n＝k＋1时，(1＋1)·＞3k＋1143k＋13k－23(k1)23＝3k＋1(3k＋2)．

3k＋13k＋23－3k＋43k＋129k＋4∵[3k＋4]＝＝＞0 3k＋123k＋12333∴3k＋13(3k＋2)＞3k＋4 3k＋1

4

3＝3k＋1＋1. 113131＋1＋…1＋因而(1＋1)＞3k＋4＝3k＋1＋1. 3k－23k＋14∴当n＝k＋1时①式成立．

由a，b知①式对任意正整数n都成立．

1由此证得：当a＞1时，Sn＞logabn＋1；

31当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1. 3[再练一题] 3．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列．

(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

(2)证明：1115＋＋…＋<. a1＋b1a2＋b2an＋bn12【解】

(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由上可得结论成立．

②假设当n＝k时，结论成立，即

ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2. 那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1) a2k＋1＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2，

bk所以当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．

115(2)证明：n＝1时，＝<. a1＋b1612n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n. 故11111111＋＋…＋<＋＋＋…＋

33×4a1＋b1a2＋b2an＋bn622×n(n1)11111111＝＋2－3＋3－4＋…＋n－n＋1

62

5

1111115＝＋2－n＋1<＋＝. 626412综上，原不等式成立. （四）归纳小结

归纳递推要用好归纳假设

不等式证明中的强化命题

从特殊到一般的数学思想方法

（五）随堂检测

1111271．用数学归纳法证不等式：1＋＋＋…＋n－1＞成立，起始值至少取(

) 24642A．7

C．9

11－n2【解析】

左边等比数列求和Sn＝

11－21127＝2[1－()n]＞，

264112711即1－()n＞，()n＜. 2128212811∴()n＜()7. 22∴n＞7，∴n取8，选B. 【答案】

B 2．用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5，n∈N＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是(

) A．假设n＝k时命题成立

B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立

C．假设n＝k(k≥5)时命题成立

D．假设n＝k(k>5)时命题成立

【解析】

由题意知n≥5，n∈N＋，

故应假设n＝k(k≥5)时命题成立．

【答案】

C 3．设n∈N＋，则2n与n的大小关系是(

) A．2n>n

C．2n＝n

B．2n

D．不确定

B．8 D．10 【解析】

2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，

6

得(1＋1)n>n，即2n>n. 【答案】

A 4．设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x>0，n∈N，n≥2.

111n＋1，1内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋xn(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在；

222(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明．

【解】

(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，

则Fn(1)＝n－1>0，

2n1111－2 Fn＝1＋＋＋…＋222211－2＝11－2n＋11－2＝－n<0，

21所以Fn(x)在2，1内至少存在一个零点．

11－，1内单调递增，所以Fn(x)在，1内有又Fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn1>0，故Fn(x)在22且仅有一个零点xn. 因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，

11－xn11n＋1n即－2＝0，故xn＝＋xn. 221－xn＋n＋11＋xn(2)法一：由题设，gn(x)＝. 2n＋11＋xn设h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x＋…＋x－，x>0. 22n当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．

当x≠1时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1nn＋1xn1－. 2－nn＋1n－1nn＋1n－1nn＋1n－1－－－若0xn1＋2xn1＋…＋nxn1－·x＝x－x＝0. 222nn＋1n－1nn＋1n－1nn＋1n－1－－－若x>1，h′(x)

所以h(x)

综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；

当x≠1时，fn(x)

7

法二：由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，

n＋1xn＋1gn(x)＝，x>0. 2当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．

当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)

1①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－(1－x)2<0，

2所以f2(x)

②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)

那么，当n＝k＋1时，

fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1

2＋令hk(x)＝kxk1－(k＋1)xk＋1(x>0)，

＋则hk′(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk1＝k(k＋1)xk1(x－1)．

－－所以当0

当x>1时，h′k(x)>0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．

所以hk(x)>hk(1)＝0，

2xk1＋k＋1xk＋k＋1从而gk＋1(x)>

. 2＋故fk＋1(x)

由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)

五、板书设计

归纳递推要用好归纳假设

不等式证明中的强化命题

从特殊到一般的数学思想方法

六、作业布置

本课单元检测

七、教学反思

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