2.基本不等式优质课教学设计

基本不等式及其应用

广西桂平市三中

梁宗凯

考纲：1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

知识回顾

1．基本不等式

基本不等式

a＋bab≤2

2.常用的几个重要不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

a＋b2(a，b∈R)．

(2)ab≤2a2＋b2a＋b2(a，b∈R)．

(3)2≥2ba(4)a＋b≥2(a，b同号且不为零)．

上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b. 3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值

设x，y都是正数．

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2P. 1(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值4S2. 问题探究：当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？

提示：若最值取不到可考虑函数的单调性．

基础自测

不等式成立的条件

a>0，b>0

等号成立的条件

a＝b

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) a＋b(1)当a≥0，b≥0时，2≥ab.(

) 1(2)函数y＝x＋x的最小值是2.(

) 1(3)若a>0，则a3＋a2的最小值为2a.(

) xy(4)x>0且y>0是y＋x≥2的充要条件．(

) π4(5)函数f(x)＝cos x＋，x∈0，2的最小值等于4.(

) cos x[答案]

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

a2＋b22．(2015·孝感调研)“a>b>0”是“ab<2”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]

由a>b>0得，a2＋b2>2ab；但由a2＋b2>2ab不能得到a>b>0，故“a>b>0”a2＋b2是“ab<2”的充分不必要条件，故选A. [答案]

A 13．(2015·青岛一模)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则ab的最小值为(

) 1A.4

1C.2

B．4

D．2 [解析]

由2a＋b＝4，得22ab≤4，即ab≤2，

11又a>0，b>0，所以ab≥2. 11当2a＝b，即b＝2，a＝1时，ab取得最小值2.故选C. [答案]

C 4．若对任意x>0，A．(0，＋∞)

x≤a恒成立，则a的取值范围是(

) x2＋3x＋11B．5，＋∞



C．[1,4)

x[解析]

a≥2＝x＋3x＋1等号) ∴111≤，∴a≥155.故选B. x＋x＋3D．(0,4) 11，又x>0，∴x＋1x≥2，(当且仅当x＝1时取x＋x＋3[答案]

B 55．设0

25[解析]

因为00，

所以y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x) 52x＋5－2x225＝，当且仅当2x＝5－2x，即x＝时等号成立，故函数y≤224225＝4x(5－2x)的最大值为2. 25[答案]

2

考点研究探索：

考点一

利用基本不等式证明不等式

1．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．

2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．

注意：

连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

例1 111已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：a＋b＋ab≥8.

[解题指导]

切入点：基本不等式；关键点：适当变形及确定等号成立的条件．

11111[证明]

由a＋b＝1，得a＋b＋ab＝2a＋b，

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

11a＋ba＋bab∴a＋b＝a＋b＝2＋b＋a≥2＋2＝4，

1111∴a＋b＋ab≥8当且仅当a＝b＝2时等号成立. 总结：

利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意基本不等式成立的条件．对待证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．

对点训练

bccaab已知a>0，b>0，c>0，求证：a＋b＋c≥a＋b＋c. bcca[证明]

∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2 bcaba＋c≥2 caabb＋c≥2 bcaba·c＝2b；

caabb·c＝2a. bccaa·b＝2c；

bccaab以上三式相加得：2a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，

bccaab即a＋b＋c≥a＋b＋c. 考点二

利用基本不等式求最值

1．利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．

2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．

注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．

例2

(1)已知a>0，b>0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为________；

(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________；

51(3)已知x<4，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

4x－5[解题指导]

切入点：利用基本不等式求最值；关键点：凑和或积为定值，同时注意等号成立的条件．

[解析]

(1)解法一：∵a>0，b>0,4a＋b＝1，

∴1＝4a＋b≥24ab＝4ab，

111当且仅当4a＝b＝2，即a＝8，b＝2时，等号成立．

111∴ab≤4，∴ab≤16.所以ab的最大值为16. 解法二：∵a>0，b>0,4a＋b＝1，

114a＋b21＝，

∴ab＝4·4a·b≤42161111当且仅当4a＝b＝2，即a＝8，b＝2时，等号成立．所以ab的最大值为16. 31(2)由x＋3y＝5xy，得＋＝5(x>0，y>0)，

xy131则3x＋4y＝5(3x＋4y)x＋y

12y3x11＝513＋x＋y≥513＋21＝5(13＋12)＝5，

12y3x当且仅当x＝y，即x＝2y＝1时，等号成立，

x＝1，x＝2y，此时由解得1y＝.x＋3y＝5xy，212y3x

x·y

1515－4x＋(3)因为x<4，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤5－4x4x－5－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝的最大值为1. 11，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋5－4x4x－5

1[答案]

(1)16

(2)5

(3)1 总结：利用基本不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相等”，缺一不可．如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积)化为定值．

对点训练

1.3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为(

) A．9

C．3

9B．2

32D．2

[解析]

因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，3－aa＋6≤[答案]

B 122．(2015·湖南卷)若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为(

) A.2

C．22

B．2

D．4 3－a＋a＋693＝，当且仅当a＝－222时等号成立．

12b＋2a[解析]

解法一：由已知得a＋b＝ab＝ab，且a>0，b>0，∴abab＝b＋2a≥22ab，∴ab≥22. 12解法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab＝a＋b≥

22ab，即ab≥22，选C. [答案]

C a3．已知函数f(x)＝4x＋x(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________．

a[解析]

∵f(x)＝4x＋x≥2a4x·x＝4a(x>0，a>0)，

a当且仅当4x＝x，即4x2＝a时f(x)取得最小值．

又∵x＝3，∴a＝4×32＝36. [答案]

36 考点三

基本不等式的实际应用

应用基本不等式解决实际问题的步骤

(1)仔细阅读题目，透彻理解题意．

(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数．

(3)应用基本不等式求出函数的最值．

(4)还原实际问题，作出解答．

总结：在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

例3 (2016·泰安调研)某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将1技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入2(x2＋x)万元作为技改x费用，投入4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？

[解题指导]

切入点：建立销售量m和售价x的函数关系式；关键点：应用基本不等式求解．

[解]

(1)设商品的销售价格提高a元，则销售量减少(10－a)万件，

所以(10－a)(5＋a)≥50，解得0≤a≤5. 所以商品的价格最多可以提高5元．

(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，

若技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足

12xmx＝2(x＋x)＋4＋50(x>5)即可，

1350此时m＝2x＋4＋x≥2x503432·x＋4＝4，

150当且仅当2

x＝x，即x＝10时，取“＝”．

43故销售量至少应达到4万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．

总结：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解；(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．

对点训练

有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部1门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d＝kv2l＋2l(k为正常数)，假定车身长都为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车身长．

(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；

(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

[解]

(1)∵当v＝60 km/h时，

12.66l－2l602l2.16＝602＝0.000 6，

d＝2.66l，∴k＝∴d＝0.002 4v2＋2. (2)设每小时通过的车辆为Q，则Q＝即Q＝1 000v＝0.002 4v2＋61 00060.002 4v＋v. 1 000v，

d＋46∵0.002 4v＋v≥2 ∴Q≤1 00012 500＝. 0.24360.002 4v·v＝0.24，

6当且仅当0.002 4v＝v，

12 500即v＝50时，Q取最大值3. 答：当v＝50 km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多．

———————方法规律总结————————

[方法技巧] 1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．

2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形22a＋ba＋b2a＋b≤式及公式的逆用等，例如：ab≤，ab≤22≤

2a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．

m3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋x(m>0)的单调性．

[易错]使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．