三 反证法与放缩法优秀导入

三反证法与放缩法

1．反证法

(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．

(2)反证法证明不等式的一般步骤：

①假设命题不成立；

②依据假设推理论证；

③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．

2．放缩法

(1)放缩法证明的定义：

证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．

(2)放缩法的理论依据有：

①不等式的传递性；

②等量加不等量为不等量；

③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．

[例1]

已知f(x)＝x2＋px＋q. 求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

1(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2[思路点拨]

“至少有一个”的反面是“一个也没有”．

[证明]

(1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. 1(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，

2则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2. 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，

利用反证法证明问题

1∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2

(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．

(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．

1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(

) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：选D

“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．

2．设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1. 证明：假设4a(1－b)>1,4b(1－c)>1,4c(1－d)>1，

4d(1－a)>1，

11则有a(1－b)>，b(1－c)>，

4411c(1－d)>，d(1－a)>. 4411∴a1－b>，b1－c>，

2211c1－d>，d1－a>. 22又∵a1－b≤c1－d≤∴a＋1－bb＋1－c，b1－c≤，

22c＋1－dd＋1－a，d1－a≤，

22a＋1－b1b＋1－c1>，>，

2222c＋1－d1d＋1－a1>，>. 2222将上面各式相加得2>2，矛盾．

∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1. 3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)

证明：假设ab. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．

当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，

于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．

故a

利用放缩法证明不等式

[例2]

已知实数x，y，z不全为零．求证：

3x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>(x＋y＋z)．

2[思路点拨]

解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．

[证明]

≥

x2＋xy＋y2＝

x＋y2＋3y2

24x＋y2＝x＋y≥x＋y. 222zy2＋yz＋z2≥y＋，

2同理可得

xz2＋zx＋x2≥z＋，

2由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：

yzx3x＋＋y＋＋z＋＝(x＋y＋z)．

x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>2222

(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．

(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．

4．已知a，b是正实数，且a＋b＝1，求证：1＋b1＋a11证明：因为＋<＋

a＋1b＋1a＋1＋bb＋1＋a＝a＋b＋23＝，

a＋b＋12113＋<.

a＋1b＋12所以原不等式得证．

1n＋2. 5．已知n∈N＋，求证：1×3＋3×5＋…＋2n－12n＋1<21＋343＋58证明：因为1×3<＝，3×5<＝，…，

22222n－12n＋1<2n－1＋2n＋14n＝，

224＋8＋…＋4n＝n2＋n，

2所以1×3＋3×5＋…＋2n－12n＋1<1n＋2，

又因为n2＋n<2所以原不等式得证．

1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数(

) A．两个都是偶数

B．一个是奇数，一个是偶数

C．至少一个是偶数

D．恰有一个是偶数

解析：选C

假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．

x＋yxy2．设x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系为(

) 2＋x＋y2＋x2＋yA．M＞N

C．M＝N

解析：选B

N＝B．M＜N

D．不确定

x＋yxyxy＋＞＋＝＝M. 2＋x2＋y2＋x＋y2＋x＋y2＋x＋y3. 否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(

) A．a，b，c都是奇数

B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

解析：选D

三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．

1114．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋b，b＋c，c＋a的值(

) A．都不大于－2

B．都不小于－2

C．至少有一个不大于－2

解析：选C

假设都大于－2，

111则a＋＋b＋＋c＋>－6，

bca∵a，b，c均小于0，

D．至少有一个不小于－2 111∴a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，

abc111∴a＋＋b＋＋c＋≤－6，

abc这与假设矛盾，则选C. 5．M＝1111＋10＋…＋11与1的大小关系为________．

10＋1022＋12＋22－11111＋10＋…＋11

10＋1022＋12＋22－1解析：M＝＝<1111＋10＋…＋10

10＋1022＋12＋22＋210－1111110＋10＋10＋…＋10＝1，即M<1. 2222共210项

答案：M<1 6．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为____________．

解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n＋1条”．

答案：直径的数目至少为n＋1条

7．A＝1＋111＋＋…＋与n(n∈N＋)的大小关系是________．

n23n1111111＋＋＋…＋≥＋＋…＋＝

nnnnn123解析：A＝n项

＝n. 答案：A≥n

8．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

证明：假设a，b，c，d都是非负数．

由a＋b＝c＋d＝1，知a，b，c，d∈[0,1]．

从而ac≤ac≤a＋cb＋d，bd≤bd≤. 22a＋c＋b＋d∴ac＋bd≤＝1.即ac＋bd≤1. 2与已知ac＋bd>1矛盾，

∴a，b，c，d中至少有一个是负数．

11119．求证：2＋2＋2＋…＋2<2. 123n1111证明：因为2<＝－n，

nnn－1n－11111所以2＋2＋2＋…＋2

123n<1＋111＋＋…＋

1×22×3n－1n11111－

1－＋－＋…＋＝1＋223n－1n1＝2－n<2. π0，，

且sin(α＋β)＝2sin α.求证α<β. 10．已知α，β∈2证明：假设α≥β. ①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sin α，得sin 2α＝2sin α，

π0，矛盾，故α＝β不成立．

从而cos α＝1，这与α∈2②若α>β，则sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α，

所以cos αsin β＝(2－cos β)sin α，即cos αsin α＝. 2－cos βsin βπ0，，所以sin α>sin β. 因为α>β，且α，β∈2从而cos α>1，即cos α>2－cos β，

2－cos β即cos α＋cos β>2，这是不可能的，所以α>β不成立．

由①②可知假设不成立，故原结论成立．