3.三个正数的算术-几何平均不等式教学实录

1.1.3 三个正数的算术-几何平均值不等式

【学习目标】

1. 掌握三个正数的算术-几何平均值不等式；

2. 会用三个正数的算术-几何平均值不等式证明不等式、求最值. 【复习导入】

221．定理1 如果a,bR, 那么ab2ab. 当且仅当ab时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式)：如果a,bR, 那么 .当且仅当 时, 等号成立. 推论1. 两个正数的算术平均数2ab 0ab, 几何平均数222ab, 平方平均数ab, 2 调和平均数ab，从小到大的排列是: 热身训练

某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为y(x6)211(xN),则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【合作探究】

☆探究：类比基本不等式：如果a,bRab, 那么2ab.当且仅当ab时, 等号成立. 如果a,b,cR,那么 .当且仅当 时, 等号成立. 建构新知：

定理3 如果a,b,cR, 那么abc3abc, 当且仅当abc时, 等号成立. 3 定理3的文字表述:

推论

对于n个正数a1,a2,,an, 它们的 即

当且仅当abc时, 等号成立. 【典型例题】

例1.已知a,b,c0，求证：

1. bca11132. abca2b2c29abc 3. 333abc23

abcabc

例2 用一块边长为a的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？

3例3 求函数y2x2,(x0)的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. x解一:y2x232x211332x212334. ∴ymin334．

xxxxx33解二:y2x2322x2326x当2x23即x12时, ymin26122331226324．

xxx22正解:

【课堂检测】

1.设a,b,cR，且a,b,c不全相等，则不等式a3b3c33abc成立的一个充要条件是 ( ) A. a,b,cR B. a+b+c0 C. a+b+c0 D. a,b,c0

2. 函数fxx1x2x0,1的最大值是______________. 3.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则V的最大值为 . 4.制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平米30元，做侧面的金属板的价格为每平米20元，要使用料成本最低，求此圆柱形桶的底面半径和高为多少？

【总结提升】

1.n个正数a1,a2,,an，则a1a2nanna1a2an等号成立当且仅当a1a2an，这是算术2平均数≥几何平均数不等式的一般情形.目前只要求掌握n=2和n=3的情形 . 2. 算数-几何平均数不等式是针对n个正数而言的，否则不一定成立. 3.利用算数-几何平均数不等式求最值依然遵循“一正二定三相等原则”，这三条只要一条不满足都不行. 4．利用算数-几何平均数不等式求和的最小值，关心积是否为定值；求积的最大值，关心和是否为定值.这是进行数学变形必须要把握的原则.