三 排序不等式教学设计与反思

排序不等式

1．顺序和、乱序和、反序和

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．

2．排序不等式(排序原理) 定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn. 排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．

[例1] 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：

a5b5c5111＋＋≥＋＋. b3c3c3a3a3b3abc11[证明] ∵a≥b>0，于是≤，

ab11又c>0，从而≥，

bcca11111同理≥，从而≥≥. caabbccaab又由于顺序和不小于乱序和，故可得

a5b5c5b5c5a5＋＋≥＋＋

b3c3c3a3a3b3b3c3c3a3a3b3b2c2a2222111＝3＋3＋3∵a≥b≥c，3≥3≥3

cbacabc2a2b2111111≥3＋3＋3＝＋＋＝＋＋. cabcababc∴原不等式成立．

利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．

π11．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>(sin 22

2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

πππ证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在0，为增函数，y＝cos x在0，为减函222数，

∴0cos β>cos γ>0. ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α

>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ

1＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

22．设x≥1，求证：1＋x＋x＋…＋x≥(2n＋1)x. 证明：∵x≥1，∴1≤x≤x≤…≤x. 由排序原理得1＋x＋x＋…＋x

≥1·x＋x·x242242n222nnnnn－1＋…＋x2nn－1·x＋x·1

nn即1＋x＋x＋…＋x≥(n＋1)x.①

又因为x，x，…，x1为1，x，x，…，x的一个排列，

由排序原理得1·x＋x·x＋…＋x≥1·x＋x·x322n,2nn－1·x＋x·1

nnnn－1＋…＋xnn－1·x＋x·1，

nn即x＋x＋…＋x2n－1＋x≥(n＋1)x.②

22n将①②相加得1＋x＋x＋…＋x≥(2n＋1)x. [例2] 设a，b，c为正数，求证：

na12b12c12101010＋＋≥a＋b＋c. bccaab[思路点拨] 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．

111121212[证明] 由对称性，不妨设

a≥b≥c，于是a≥b≥c，≥≥，

bccaab故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得

a12b12c12a12b12c12a11b11c11＋＋≥＋＋＝＋＋.①

bccaababbccabca111111111又因为a≥b≥c，≤≤. abc再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得

a11b11c11a11b11c11＋＋≤＋＋.②

abcbca

a12b12c12101010所以由①②得＋＋≥a＋b＋c. bccaab在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．

3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，

111由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，≥≥. bccaab≥a＋b＋c. abccbaa111由排序不等式，知ab×＋ac×＋bc×

cb111≥ab×＋ac×＋bc×＝a＋c＋b，

bac即＋＋bccaab≥a＋b＋c. abca1a2a2a3a3a1＋＋≥a1＋a2＋a3. a3a1a24．设a1，a2，a3为正数，求证：证明：不妨设

a1≥a2≥a3>0，于是

1a1a2a311≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，

由排序不等式：顺序和≥乱序和得

a1a2a3a1a2a3111＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2

a3a2a1a2a3a1＝a3＋a1＋a2. 即a1a2a2a3a3a1＋＋≥a1＋a2＋a3. a3a1a2