3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计第二课时

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

教学目标

重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则．

难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则; 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、

引入新课

复习引入

1.虚数单位i：它的平方等于1,即i21;

2.对于复数zabia,bR：

当且仅当b0时,z是实数a; 当b0时,z为虚数; 当a0且b0时,z为纯虚数; 当且仅当ab0时,z就是实数0.

3.复数的几何意义

复数zabia,bR

复平面内的向量OZ=a,b

一一对应

我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知

探究一:复数的加法

1.复数的加法法则

我们规定,复数的加法法则如下: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．

2.复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?

1

对任意的z1,z2,z3C,有

z1z2z2z1（交换律）, (z1z2)z3z1(z2z3)（结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．

3.复数加法的几何意义

复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则有OZ1(a,b),OZ2(c,d),由平面向量的坐标运算有

OZ1OZ2(ac,bd). 这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(ac)+(bd)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

y

Z2(c,d)

Z

Z1(a,b)

O

x

由图可以看出,以OZ1、OZ2为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数(ac)+(bd)i对应的向量. 【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想.

探究二:复数的减法

类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗? 1.复数的减法法则

我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

(cdi)(xyi)abi

的复数xyi叫做复数abi减去cdi的差,记作(abi)(cdi).根据复数相等的定义,有

cxa,dyb, 因此

xac,ybd, 所以

xyi(ac)(bd)i, 即

(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数. 【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考

2

查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．

2.复数减法的几何意义

设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则这两个复数的差z1—z2与向量OZ1—OZ2（即Z2Z1）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示. y

O

Z1Z2

x

【设计意图】两个复数的差z1—z2（即OZ1—OZ2）与连接两个终点Z1,Z2,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数. 三、理解新知

1.复数的加减法法则: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,规定：

z1z2(ac)(bd)i; z1z2(ac)(bd)i.

2.复数加、减法的几何意义：

(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则. 3.几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2. 其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来. 四、运用新知

例1.计算（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）

3

解：（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）

=（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i

组织学生计算：

(1)(23i)(5i); (2)(12i)(12i); (3)(23i)(52i); (4)(56i)(2i)(34i); 解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i; (2)(12i)(12i)(11)(22)i0; (3)(23i)(52i)(25)(32)i35i; (4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i. (23i)(5i)(25)(31)i32i

例2.(1)设OZ1,OZ2分别与复数z153i,z214i对应,计算z1z2,并在复平面内作出OZ1OZ2, (2)设OZ1,OZ2分别与复数z113i,z22i对应,计算z1+z2,并在复平面内作出OZ1OZ2. 解：

y

yZ

Z2Z1

Z1Z2O

xOx

图1 图2

(1)z1z2=(5+3i)(14i)(51)(34)i4i.（如图1所示）; (2)z1+z2(13i)(2i)(12)(31)i34i.（如图2所示）. 六、布置作业

4