小结教学内容概述

高二 新人教A版数学选修第3章

数系的扩充与复数的引入

一、教学内容分析

本节内容总概：本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利用复数的四则运算，可把复数代数形式a＋bi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题．另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数．由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用．这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数．有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力．

二、学情分析

对高二的学生来说，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

三、设计思想：

本节课采用启发式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，以问题为导向设计教学情境，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

四、教学目标：

1．复习复数的基本概念．虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部等等．理解复数相等的充要条件．

2.复数代数形式的运算法则 加、乘两种运算法则，把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．

3．复习复数运算的几何意义，及复数在平面几何、解析几何中的应用

五、教学重点与难点

教学重点：1.复习复数的基本概念，复数代数运算

教学难点：2.复数运算的几何意义及应用

教学准备：制作多媒体课件，

六、教学过程：

（一），知识梳理

1.基本概念：虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部等等．理解复数相等的充要条件．

（1）虚数单位 i i2 = －1 （2）复数的代数形式：形如 z＝a＋bi(a，b∈R) （3）虚数和纯虚数：对于z＝a＋bi(a，b∈R) 当 ----- 时，它是实数；当 -------时，它是虚数；当 ------ 时，它是纯虚数。

(4)．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系

(5)复数的相等： a＋bi=c+di的充要条件

2.复数的几何意义:（1）理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系，掌握复数的几何意义．可以用“三角形法则”解释．

（2）能够进行复数模的计算．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

3复数代数形式的运算法则: 代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

二，知识结构

三，典型例题

（1）复数的概念

[例1]

已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i 当m取何实数值时，复数z是：

(1)零；

(2)纯虚数；

[解析]

m(m－1)＝0(1)由题意可得2m＋2m－3＝0

m＝0或m＝1即m＝－3或m＝1

∴m＝1 所以当m＝1时，复数z为零．

m(m－1)＝0(2)由题意可得2m＋2m－3≠0

m＝0或m＝1 解得，所以m＝0 m≠－3且m≠1

所以m＝0时，z为纯虚数

m2－m－6[例2]

m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i

m＋3(1)

是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？

[解析]

2m－2m－15＝0(1)当m＋3≠0

时

m＝5或m＝－3即m≠－3

，

∴当m＝5时，z是实数．

2m－2m－15≠0(2)当m＋3≠0

时，

m≠5且m≠－3即m≠－3

∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数．

m2－m－6＝0(3)当m＋3≠0m2－2m－15≠0m＝3或m＝－2即m≠－3m≠5且m≠－3

时，

∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．

（2）复数的运算与技巧 加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1. 在运算的过程中常用的结论有：

(1)i的乘方：i2＝－1，i3＝－i，i4k＝1，i4k1＝i，i4k2＝－1，i4k3＝－i(k∈N*)；(2)(1±i)2＋＋＋a＋bi(a＋bi)i(a＋bi)i＝±2i；(3)进行复数除法运算时，有如下技巧：＝＝＝i(a，b∈R且a≠0，b－ai(b－ai)ia＋bib≠0)，利用此结论可使一些特殊题目的计算过程简化．

另外计算要注意下面结论的应用：

(1)(a±b)2＝a2±2ab＋b2，

(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2，

(3)(1±i)2＝±2i，

1(4)＝－i，

i1＋i1－i(5)＝i，＝－i，

1－i1＋i(6)a＋bi＝i(b－ai)．

[例3]

复数(1＋1i)的值是

(

) A．4i

B．－4i

C．4

D．－4 4

例4．计算：

(1)2＋3i；

(2)(2－i)2. 3－2i

（3）复数的几何意义．

1．复数加法的几何意义

复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则(或三角形法则)．

复数运算的几何意义．

→＝(x，y)，已知复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i及其对应的向量OZ111→＝(x，y)．以OZ→和OZ→为邻边作平行四边形OZZZ，如图．对OZ2221212→＝OZ→＋OZ→，而OZ→＋OZ→所对应的坐标是角线OZ所表示的向量OZ1212(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．

2．复数减法的几何意义

→，OZ→的终点，并指向被减数的向量复数z2－z1是指连结向量OZ12Z→1Z2所对应的复数．

[例5]

已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平行四边形，顶点A、B、C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．

[误解]

∵B→A＝C→D，

∴zA－zB＝zD－zC，

∴zD＝zA－zB＋zC

＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i. 即点D对应的复数为1－7i. [辨析]

四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有▱ABCD一种情况，应该还有▱ABDC和▱ACBD两种情况．如图所示．

3．对复数加减法几何意义的理解

它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

[例6]

在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点

(1)在虚轴上；

(2)在第二象限；

(3)在直线y＝x上．

分别求实数m的取值范围．

[点评]

复数的几何意义包含两种：

(1)

复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点一一对应，两者联系：复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式组)．

(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识．

四，高考真题专练

1.

在下列命题中，正确命题的个数是(

) ①两个复数不能比较大小；

②z1、z2、z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；

③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；

④若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数．

A．0

B．1

C．2

D．3 2.（2019海南）设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（2019•新课标Ⅲ）若z（1+i）＝2i，则z＝（

）

A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+I z14．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z为纯虚数，则实数a的值为________．

2

115

(1)复数＋的虚部是(

) －2＋i1－2i

1111A.i

B.

C．－i

D．－

5555(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(

) A．1

B．2

C．1或2

D．－1 五、教学反思

复数这一章节，要让学生一掌握基本概念，二，熟悉基本计算，作为高考的要求，考查都是较为基本的知识和计算，根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如下设计：②启发、引导学生熟悉概念，强化计算，查缺补漏，总之，整个过程让学生熟悉理论——解决问题——反思总结

的历程，从而使三维教学目标得以实现。