探究与发现 组合数的两个性质教学实录与评析

组合数的性质

教学目标：

1、使学生理解利用组合数公式证明组合数性质的过程，提高学生式的变形能力，使学生认识组合数性质的组合意义；

2、使学生掌握组合数的性质；

3、使学生能解决简单的组合应用题，发展逻辑思维能力；

教学重点：

1、组合数性质的组合意义及组合数性质的应用。

2、简单组合应用题的分析。

教学难点：简单组合应用题的分析。

教学仪器：投影仪

一、复习：

1、组合、组合数的意义

2、组合数公式

二、课前诊断引导：

1.1）已知集合A=｛a,b,c,d,e,f},则集合A的2元子集个数是____个. 2）已知集合A=｛a,b,c,d,e,f},则集合A的4元子集个数是____个. 2.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球． ⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵

从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

3.由上述两个问题你分别有什么猜想？

三、从问题归纳出结论：

mnm 性质1：Cn

Cn

mm1m性质2：CnCnCn1

能否证明，能否从组合的意义理解上述性质

性质2证明：

【给时间学生自主证明】

n!n!证明：右边＝

(m1)!(nm1)!m!(nm)!mn!(nm1)n! ＝

m!(nm1)!

(mnm1)n! ＝

m!(nm1)!(n1)n! ＝

m!(nm1)!(n1)! ＝

m!(nm1)!m ＝Cn1＝左边 ∴得证

一般地，从a1,a2,a3,an1这n＋1个不同的元素中取出m个的组m合数是Cn1

而另一方面，这些组合又可以分成两类：

一类：含有a1的组合是从余下的a2,a3,an1这n个不同的元素中m1取出m－1个元素与a1组成的，共有Cn个

二类：不含有a1的组合是从余下的a2,a3,an1这n个不同的元素m中取出m个元素组成的，共有Cn个

∴由分类计数原理，得组合数的性质2 四、运用组合数公式

56C12例1：计算（1）C12 9796952C98C98 （2）C98

566C12 解：（1）C12＝C1313!1716

6!(136)!97969597969695 （2）C982C98C98＝(C98C98)(C98C98)

＝C99C99

97 ＝C100

9796

3 ＝C100

＝1009998＝161700 3!22223 例2：求证：

C2C3C4C5C6

3222 证：左边＝C3C3C4C5

322 ＝C4C4C5

32 =C5C5

=C6 ∴得证

引导学生找规律，并推广 nnnnnn1

推广式：CnCn1Cn2Cnm1CnmCnm1

012m2m1m思考：CnCn1Cn2Cnm2Cnm1Cnm?

3 引导学生推导结论：012m2m1m1mCnCnCCCCC1n2nm2nm1nmnm1

说明：

nmnm时，用Cn代替Cn计算可减少运算量。

20 2、为使定理1在mn时仍成立，规定Cn=1。

1、m 3、定理2公式的特点与记忆方法。

五、组合数性质的应用：

思考：如何从组合意义上去理解

012345C5C5C5C5C5C525？

让学生设计一个应用题。

六、学生小结：

1、组合数有哪几个性质；

2、组合数性质的组合意义是什么？

七、练习：

554 1、CmCm1Cm=___________ 2222 2、C2=________ C3C4C10

八、布置作业：

94959697计算：①C96=___________ C97C98C9901217 ②C3=___________ C4C5C20