3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀获奖教案

复数代数形式的四则运算

一. 教学内容：

复数的乘法与除法

补充：共轭复数的性质以及复数的模的性质

二. 重点、难点：

1. 复数的乘法法则：

设z1abi，z2cdi（a，b，c，dR）

则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

即两个复数相乘，按照多项式相乘的法则进行，只需注意把i2换成－1，并且把实部、虚部分别合并。

2. 按照以上的乘法法则，可知复数的乘法满足交换律、结合律，这一点容易证明。（建议同学们自己证明）

另外，正整数指数幂的运算律也可以推广到复数集中，即

mmmnmnmnmnm

zzz；(z)z；(z1z2)z1z2(m，nZ)

n

3.关于i（nN）的周期性：

1234

ii，i1，ii，i1；

5678

ii，i1，ii，i1，……

4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41

in1n2

即：若n被4除余1，则ii；若n被4除余2，则ii；

n3n4

若n被4除余3，则ii；若n被4除余4，则ii。

101199932000i4

例如：ii，ii，i

4.关于zz的值

2222

设zabi，则zabi（a，bR），从而

zz(abi)(abi)ab|z||z|

即：互为共轭复数的两个复数的积，等于其中一个复数的模的平方。

2

zz|z|是除了复数相等以外进行实虚转化的另一重要桥梁。

22

逆用该等式，可以对形如ab的因式进行因式分解（a，bR）

222

即ab(abi)(abi)，例如x2(x2i)(x2i)

这样，在实数集内不能分解的因式到复数集内仍可分解。

5. 复数的除法法则

两个复数相除，把商式的分子，分母同乘以分母的共轭复数，并把结果化简后，实部、虚部分离，即把商式分母实数化的过程。

1i(1i)(1i)(1i)22i例如：i1i(1i)(1i)22

6. 关于共轭复数的运算性质：

（1）z1z2z1z2，z1z2z1z2

（2）z1z2z1z2，(z1z)1（z20），zn(z)n（nZ）z2z2

22

（3）zz|z||z|

（4）zRzz

（5）非零复数z为纯虚数zz0

7. 关于复数的模的性质：

z2|，即两个复数之积的模等于这两个复数的模的积。

（1）|z1z2||z1||（2）|

z1|z||1，即两个复数的商的模，等于这两个复数的模的商。z2|z2|

nn

（3）|z||z|（nN），即复数的乘方的模，等于这个复数的模的乘方。

（4）||z1||z2|||z1z2||z1||z2|

(z1，z2对应的向量同向时，右端取等号，而当z1，z2对应的向量反向时，左端取等号)

||z1||z2|||z1z2||z1||z2|

(z1，z2对应的向量同向时，左端取等号，而z1，z2对应的向量反向时，右端取等号)

【典型例题】

例1. 计算：

（1）(12i)(2i)(34i)100

（3）(1i)（2）(1i)2(1i)2

解：（1）原式(43i)(34i)25i

（2）原式2i(2i)4i

或利用平方差公式：

原式[(1i)(1i)][(1i)(1i)]2(2i)4i

2

（3）注意到(1i)2i

10025050505050250

(1i)[(1i)](2i)2i2i2

例2. 在复数集内分解因式：

4

（1）a1（2）x22x3（a，xR）

422

解：（1）a1(a1)(a1)(ai)(ai)(a1)(a1)

22

（2）x2x3(x1)2(x12i)(x12i)

例3. 求4及86i的平方根。

解：（1）设4的平方根为xyi（x，yR）

2

则(xyi)4

22

即(xy)2xyi4

x2y24x2y24x2y24x0由复数相等，得或2xy0x0y0y2



4的平方根为2i或2i

（2）设86i的平方根为xyi（x，yR）

2

则(xyi)86i

22即(xy)2xyi86i

x2y28x3x3由复数相等，得或y1y1

2xy6

86i的平方根为3i或3i

注：求一个复数的平方根，只需利用平方根的定义，以及复数相等的条件，即可把问题转化为已知的问题。

z23z6设z1i，求复数的模。z1

例4.

分析：只需把z＝1＋i代入关于z的表达式，即可经过复数的乘除加减运算，得到复数ω，进一步根据模的定义，求出|ω|。

注意：由于ω的表达式中关于z的运算除了乘除运算外，还包含加减运算，因此无法运用模的运算性质求值。

(1i)23(1i)62i(33i)63i1i(1i)12i2i

解：

|||1i|2

求复数(43i)5(312i)(23i)422的模。

例5.

解：可直接利用复数模的运算性质，以简化运算。

|||43i|5312|i||23i|42255(5)453125

例6.

若z为虚数，且z2z12R，求复平面内与z对应的点的轨迹。

分析：若设出z的代数形式xyi，则利用z2z21R可得到x，y的方程，即动点Z(x,y)的方程，再根据方程的类型判断动点轨迹或联想到前述定理：

z21z21

进一步利用共轭的性质化简，变形，也可得到z的方程，进而判断动点轨迹。

zRzz，可得(z2)z2

解法一：设zxyi（x，yR，且y0），则

z22

z1(xyi)2(xyi)21

(x2)yi(x2y21)2xyi

[(x2)(x2y21)2xy2][(x2y21)y2xy(x2)]i

(x2y21)2(2xy)2

(x2y21)y2xy(x2)0

y0，(x2y21)2x(x2)0

即(x2)2y25（y0）

它表示的轨迹是以（2，0）为圆心，以5为半径的圆

（去掉四点(25，0)，(25，0)，(0，1)，(0，1)）

z22

解法二：z21R，zz21)z2z21

z22

z2z1z21

(z2)(z21)(z2)(z21)

(zz)[zz2(zz)1]0

z为虚数，zz0

zz2(zz)10

即(z2)(z2)5

或(z2)(z2)5

即|z2|25

|z2|5

它表示以（2，0）为圆心，以5为半径的圆

又注意到z为虚数（其虚部不为0），以及z210

上述的圆中应去掉四点(25，0)，(25，0)，(0，1)，(0，R

1)

注：解法一是求轨迹方程的基本方法，采取了化虚为实的手法；而解法二则应利用复数共轭的性质，采用了一定的变形技巧，得到了动点轨迹的复数形式的方程，也不失为一种较好的方法。

已知z1，z2为非零复数，且满足|z1z2||z1z2|，求证：(z12)一定为负数。z2

例7.

分析：

欲证(z12zzz)为负数，只需证明1为纯虚数，为此，只需证明(1)(1)0即可；z2z2z2z2

z1z对应的点在虚轴上，为此，把已知等式变形为关于1的方程，然后从方z2z2程的

或证明

几何意义上分析问题。

22

证法一：由已知得|z1z2||z1z2|

2

由公式|z|zz得：

(z1z2)(z1z2)(z1z2)(z1z2)

(z1z2)(z1z2)(z1z2)(z1z2)

化简，得2(z1z2z2z1)0

z1z2z2z10

两边同除以z2z2(0)得：

z1z2z2z1(z1z)(1)0z2z2

z2z2

z1z为纯虚数，从而(1)20z2z2

证法二：z20，|z2|0

|z1z2||z1z2||z2||z2|

z1z1||11|z2z2

z1对应的点在以(1，0)，(1，0)为端点的线段的垂直平分线上，不包括原点0

z2

即|z1对应的点在虚轴上z2

zz1为纯虚数，从而(1)20z2

z2

即与