不等式的解与解集、解集在数轴上表示，一元一次不等式的概念和解法优质教案设计

9.2.1一元一次不等式

教学目标：

1、了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法；

2、在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法的过程中，加深对化归思想的体会．

3、学生能通过类比解一元一次方程的过程，获得解一元一次不等式的思路，即依据不等式的性质，将一元一次不等式逐步化简为x＞a或x＜a的形式，学生能借助具体例子，将化归思想具体化，获得解一元一次不等式的步骤．

教学重点：理解一元一次不等式的概念

教学难点：掌握一元一次不等式的解法．

教学过程：

一、新知引入

同学们你还记得“一元一次方程”的定义吗？我们一起来回忆一下：

1.什么叫一元一次方程 ? 答：只含一个未知数、并且未知数的指数是1的方程. 2.一元一次方程是一个等式，请问一元一次方程的(等号)两边都是怎样的式子? 答：一元一次方程的(等号)两边都是整式、只含一个未知数，并且未知数的指数是1. 3.一元一次方程的(完美) 定义：

【一元一次方程

】“只含一个未知数、并且未知数的指数是1”的整式用等号连接起来的式子. 二、新知讲解

探究1 知识点1 一元一次不等式定义

观察下列不等式：

（1）2x-2.5≥15；（2）x≤8.75；

（3）x<4；（4）5+3x>240. 这些不等式有哪些共同特点? （学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比．）

你能给它们起个名字吗? ●归纳：一元一次不等式： 含一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 巩固练习：

1、下列不等式是一元一次不等式吗？

（1）x－7＞26；（2）3x＜2x+1；（3）-4x＞3；（4）2、已知21x＞50；

（5）＞1. 3x12a1x5＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值是________．（答案：1）

3探索2 知识点2 一元一次不等式的解法

利用不等式的性质求一元一次不等式的正整数解x+2＜6

解：移项，得： . 合并同类项，得： . 系数化为1，得： . ∴不等式x+2＜6的正整数是 _ . 通过你的操作，你发现什么？

（学生尝试独立完成练习教师结合解题过程，指出：由x＜6-2可得到x＜4，也就是说

解不等式和解方程一样，也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．）

同学们，通过上述操作我们一起来研究，如何正确的解不等式？首先我们来解答两个例题，然后回答老师提出的问题：

三、例题讲解

例1、解下列不等式，并在数轴上表示解集

（1）2（1+x）＜3

（2）≥

设问（1）：解一元一次不等式的目标是什么？

（学生在教师问题的引导下，思考如何将一元一次不等式变形为最简形式x＞a或x＜a．）

设问（2）：你能类比解一元一次方程的步骤，解第（1）小题吗？

解： 去括号，得： . 移项，得： . 合并同类项，得： . 系数化为1，得： . 这个不等式的解集在数轴上的表示：

（由学生独立完成，老师评讲）

设问（3）：对比不等式同？

设问（4）：怎样将不等式≥变形，使变形后的不等式不含分母？

≥与2（1+x）＜3的两边，它们在形式上有什么不（小组合作交流，老师点拨）

设问（5）：你能说出解一元一次不等式的基本步骤吗？

学生回答，教师总结：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．

设问（6）：对比第（1）小题和第（2）小题的解题过程，系数化为1时应注意些什么？

（学生回答，教师再强调：要看未知数系数的符号，若未知数的系数是正数，则不等号的方向不变，若是负数，则不等号的方向要改变．）

巩固练习：

解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. （1）

3x22x5 （2）y12y5≥1 64（引导学生明确解不等式以化归思想为指导，比较原不等式与目标形式（x＞a或x＜a）的差异，思考如何依据不等式的性质将原不等式通过变形转化为最简形式．）

●小结：当不等式的两边都乘或除以同一个负数时，不等号的方向改变. 归纳：解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＞a (或x＜a)的形式. 例2、已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m的值．

解析：先解不等式x＋8＞4x＋m，再列方程求解．

1解：因为x＋8＞4x＋m，所以x－4x＞m－8，所以－3x＞m－8，所以x＜－(m－8)．

3因为其解集为x＜3，

1所以－(m－8)＝3，解得m＝－1. 3

方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．

巩固练习：

5y＋471－y1、y为何值时，代数式的值不大于代数式－的值？并求出满足条件的最大683整数．

解析：根据题意列出不等式数．

5y＋471－y解：依题意，得≤－，

683去分母，得4(5y＋4)≤21－8(1－y)，

去括号，得20y＋16≤21－8＋8y，

移项，得20y－8y≤21－8－16，

合并同类项，得12y≤－3，

1把y的系数化为1，得y≤－. 45y＋471－y≤－，再求出解集，然后找出符合条件的最大整683y≤－在数轴上表示如下：

14

由图可知，满足条件的最大整数是－1. 方法总结：求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．

x－y＝3，2、

已知关于x、y的方程组的解满足不等式x＋y＜3，求实数a的取值范2x＋y＝6a围．

解析：先解方程组，求得x、y的值，再根据x＋y＜3解不等式即可．

x＝2a＋1，解：解方程组得

y＝2a－2.∵x＋y＜3，∴2a＋1＋2a－2＜3，

∴4a＜4，∴a＜1. 方法总结：已知方程组，可先求出方程组的解，再把方程组的解代入不等式，求出字母系数的取值范围．

3、a≥1的最小正整数解是m,b≤8的最大正整数解是n,求关于x的不等式(m+n)x＞18的解集．

解：因为a≥1的最小正整数解是m,所以m=1.

因为b≤8的最大正整数解是n,所以n=8. 所以，m+n=9 把m+n=9代入不等式(m+n)x＞18中，

得 9x＞18，

解得x＞2.

四、当堂小结

本节课你有什么收获？你明白了什么是一元一次不等式，怎样解一元一次不等式了吗？

五、布置作业

教材124页练习1、2题

当堂测评

1、如果不等式（a+1）x>a+1的解集为 x<1,则a必须满足的条件是

（ ）D A.a<0 B.a ≤-1 C.a>-1 D.a<-1 2、不等式-3 ≤x < 4 的所有整数解的和是

（ ）A A. 0 B .6 C.-6 D.-3 3、三个连续正整数的和不大于15，则符合条件的正整数有

（ ）B A. 2组 B.4组 C.8组 D.12组

4、已知关于x的不等式2x-a>- 3 的解集如图所示，则a的值是

（ ）B

A. 0 B.1 C.-1 D.2 5、当m

时，方程组

2x3y2m3

的解x 4x3y4m5、等式 x - y < 0 .

（答案：<233）

6、解下列不等式，并在数轴上表示解集. （1）2x53x16≤4；

解：（1）去分母得：

2（2x-5）≤3(3x+1)，

4x-10≤9x+3，

-5x≤13， x≥-13/5. 解集在数轴上表示为：

（2）x12x0.5- 10.75≥18. 解：化简得：2(x-1)-4/3(2x+1)≥18, 6(x-1)-4(2x+1)≥54，

6x-6-8x-4≥54，

-2x≥64，x≤-32. 解集在数轴上表示为：

y 适合不

7、当x取什么值时，3x+2的值不大于解：由题意得：3x27x3的值. 27x3

2 6x+4≤7x-3 -x≤-7 x≥7 8、已知关于x的不等式x5ax21-1＞的解集是x＜，求a的值. 222解：化简不等式得（1-a）x＞-1. 11，∴1-a＜0.∴x＜ 21a11∴=，∴a=3. 1a2∵x＜9、已知不等式4x-3a＞-1与不等式2(x-1)+3＞5的解集相同，求a的值. 解：解不等式4x-3a＞-1得，4x＞3a-1，x＞3a1; 4解不等式2（x-1）+3＞5得，2x-2+3＞5，2x＞4，x＞2; 由于上述两个不等式的解集相同，∴3a1=2,∴a=3. 410、当k是什么自然数时，方程2/3x-3k=5（x-k）+6的解是负数？

解：解方程得x=6k18＜0，

136k-18＜0，k＜3，

故自然数可取k=2，1，0.