1.3 二项式定理（通用）第二课时教学实录

聿怀中学数学组

许桂鑫

2008-4-18 课

题：

二项式定理(一) 教学目标：

知识与技能：1、能用计数原理得到二项式定理；

2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式。

过程与方法：引导学生在用计数原理分析(ab)2的展开式的基础上，通过类比、归纳、猜想得出二项式定理，同时在求展开式、其通项、等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用。

情感态度与价值观：学生在互相讨论中分析问题、解决问题，从而获得合作感受，增强合作意识，发挥他们的自主精神，让学生在直接体验中感受解决问题的思维过程，增强学好数学的信心。

教学重点：二项式定理的推导及通项公式的掌握及运用。

教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

教学过程：

一、引入：二项式定理研究的是

(ab)n的展开式。那么，(ab)n的展开式是什么呢？我们在记数原理这一章来学习它，说明它的展开式与加法、乘法原理以及排列、组合的知识有关。那么如何把二项展开式与这些知识联系起来呢？

二、用计数原理分析(ab)2的展开式后引导学生类比得出(ab)3、(ab)4的展开式，并总结出规律，归纳得出二项式定理：

⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

22202122⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项（a展开式各项的系数：

上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a的系数是C4；

11恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，

22恰有2个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，

22344kbk,k0,1,2,3,4)：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

040恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，

有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

404132223344443334

1

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许桂鑫

2008-4-18 0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项（ankbk,k0,1n)：a，ab，…，annnrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

r恰有r个取b的情况有Cn种，annrnnrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，

r⑶它有n1项，各项的系数Cn(r0,1,n)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab．

ab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cn1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

三、讲解范例：

例1．展开(2x16)．

x解：(2x161)3(2x1)6

xx112321[(2x)6C6(2x)5C6(2x)4C6(2x)3C6(2x)2C6(2x)1]

3x6012164x3192x2240x16023．

xxx14练习．展开(1)．

x4641141411112313解：

(1)1C4()C4()C4()()1234．

xxxxxxxxx例2．（1）求(12x)的展开式的第4项的系数；

（2）求(x719)的展开式中x3的系数。

x2

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许桂鑫

2008-4-18 练习．（1）求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：（1）(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9

（2）求(x3x339)的展开式常数项；

x39)的展开式的中间两项

x（3）求(39rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3xr9∴（1）当9（2）(36r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

x4989T5C3四、小结

：

x9121594251093，T6C93x2378x3

x1）注意二项式定理中二项展开式的特征；

2）区别二项式系数，项的系数；

3）掌握用通项公式求项的系数及项的方法。

4）主要数学思想：类比、归纳、猜想。

5）高考要求:

二项式定理试题每年一道，主要以选择题、填空题形式出现，难度中等，题型为以下几种：

（1）求展开式中的某一项或某一项的系数的问题；

（2）求所有项系数的和或奇数项、偶数项系数和的问题；

（3）二项式的某一项为字母，求这个字母的值的问题等等。

五、课后作业：课本第36页习题1.3A组

4：（2）、（4）

5：（2）

备选练习：

1、如果在（x+12x4）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项

解：展开式中前三项的系数分别为1，nn(n1)，，

283

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许桂鑫

2008-4-18 由题意得2×n(n1)n=1+，得n=8

28设第r+1r项为有理项，Tr1=C8·1·x2r163r4，则r是4的倍数，

所以r=0，4，8

有理项为T1=x4，T5=135x，T9=

256x28123n2、化简：(1)、

12Cn4Cn8Cn2nCn123n （2）、12Cn

4Cn8Cn(2)nCn

4

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许桂鑫

2008-4-18

四、课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x66123x7)n的展开式的第r+1项. 4.求x2x3的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）(a3b)5；（2）(x25). 2x5121246.化简：（1）(1x)(1x)；（2）(2x3x7．xxlgx5)(2x3x)12124 展开式中的第3项为10，求x．

561 8．求x展开式的中间项

x2n2答案：1.

T21C6(2a)62(3b)22160a4b2

22.

T21C6(3b)62(2a)24860a2b4

n2r1r3r3nrr3.

Tr1Cn(x)(

)Cnx322x1r3334.展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数C72280

5.

（1）(a3b)5a55a43b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

（2）(x25125xxx)xxxx5x20402323. 2328xxxx6.

（1）(1x)5(1x)5220x10x2；

（2）(2x3x)(2x3x)192x1212412124432

x

5

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许桂鑫

2008-4-18 7.

xxlgx展开式中的第3项为Cx5232lgx5106x32lgx105

510

x10,x210002lg2x3lgx50lgx1,lgx1n8.

x展开式的中间项为(1)nC2n

x2n

七、板书设计（略）

八、课后记：

求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

2解：（1）T21C6(2a)4(3b)22160a4b2，

2 （2）T21C6(3b)4(2a)24860b4a2．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

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