信息技术应用 估计√2的值教学设计思路

第一轮复习

第五章

数列

第三节

等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念

(1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q. (2)等比中项：

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn1. －na，q＝1，1(2)前n项和公式：Sn＝a11－qna1－anq

＝，q≠1.1－q1－q3．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m

(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k；

1an2(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，a，{an}，{an·bn}，b(λ≠0)仍nn然是等比数列；

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

考点一

等比数列的判定与证明

35例1(2015·广东高考节选)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，24且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. (1)求a4的值；

1(2)证明：an＋1－2an为等比数列．

解：(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

3533571＋＋＋a4＋51＋＝81＋＋＋1，解得a4＝. 即42422481

(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，

4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，

即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．

5∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，

4∴4an＋2＋an＝4an＋1，

1an＋2－an＋124an＋2－2an＋14an＋1－an－2an＋12an＋1－an1∴＝＝＝＝，

14an＋1－2an4an＋1－2an22an＋1－an2an＋1－an2111∴数列an＋1－2an是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．

22[由题悟法]

等比数列的4种常用判定方法

an＋1an(1)定义法：若a＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，an－1n则{an}是等比数列．

(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

n＋1＝an·(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则－{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．

[提醒]

(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．

(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

a2n＋1练习、已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a≠0)，an＋2＝p·a(其中p为非零常数，n∈nan＋1是不是等比数列．

N*)．试判断数列ana2an＋2an＋1n＋1解：由an＋2＝p·a，得＝p·a. an＋1nnan＋1令cn＝a，则c1＝a，cn＋1＝pcn. ncn＋1∵a≠0，∴c1≠0，＝p(非零常数)，

cnan＋1是等比数列．

∴数列an考点二

等比数列的基本运算

等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适2

中，属中低档题．

常见的命题角度有：

(1)求首项a1，公比q或项数n；

(2)求通项或特定项；

(3)求前n项和．

一：求首项a1，公比q或项数n

1．(2015·济南二模)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a2a2＝2，则a1＝(

) 5，1A.

2C.2

B.2

2

D．2 2解析：选C

∵等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a5，a2＝2，∴由等比数列的性质a6a22得a26＝2a5，∴a6＝2a5，公比q＝＝2，a1＝＝2. qa52．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________. 解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．

21－2n又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6. 1－2答案：6 二：求通项或特定项

3．(2016·南宁测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差数列．则an＝________. 解：设数列{an}的公比为q，

∵2a1，a3,3a2成等差数列，∴2a1＋3a2＝2a3，

2a1＋3a1q＝2a1q2，

12q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－. 2∵q>0，∴q＝2. ∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn1＝2n. －答案：2n

三：求前n项和

S64．(2015·郑州二检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________. S3解析：由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所a11－qna11－36a11－33S6以27a1q＝a1q，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝S31－q1－31－3253

a11－361－3·＝28. 1－3a11－33答案：28

[方法归纳]

解决等比数列有关问题的2种常用思想

(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．

(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，a11－qna1－anq{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 1－q1－q考点三

等比数列的性质

例．(2016·广州综合测试)已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为(

) A．10

C．100

B．20

D．200 222解析：选C

a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a24＋2a4a6＋a6＝(a4＋a6)＝10＝100. 1练习．(2016·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列，若a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋4anan＋1＝________. 1解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质知a5＝a2q3，求得q＝，所以

2a1＝4. 111a2a3＝2a12a2＝4a1a2，

111an－1an＝an－1an(n≥2)．

anan＋1＝2241设bn＝anan＋1，可以得出数列{bn}是以8为首项，以为公比的等比数列，所以a1a2＋a2a34＋…＋anan＋1为数列{bn}的前n项和，由等比数列前n项和公式得a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝1n81－41－14＝32－(1－4n)．

3答案：

32－(1－4n) 34