阅读与思考 海伦和秦九韶名师课堂实录

海伦-秦九韶公式的历史与证明

剑川一中 杨银梅

海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。

亚历山大里亚的海伦（希腊语：

Ἥρων

ὁ

Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年）

，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization）科学传统方面享负盛名。

我国南宋末年数学家

秦九韶

发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为

a，中斜记为

b，小斜记为

c，秦九韶的方法即相当于海伦公式。

海伦公式

人教版高中数学必修五课本第21页的阅读与思考涉及到此公式，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：

海伦公式：三角形的面积

Sppapbpc

1abc

2其中：a、b、c

分别是三角形的三边长，p证明：方法一

a2b2c2（1）：由余弦定理可知：cosC

，由此得出

2ab

1

sinC1cos2C由

p1cosC1cosCa2b2c2a2b2c2112ab2ab

a2b22abc2c2a2b22ab2ab2ab2ab2abab2c2c2ab212ababcabcabcabc1abc

可得：

2abc2p

，

abcabc2c2p2c2pc

，

abcabc2a2p2a2pa

，

abcabc2b2p2b2pb

，

因此：

sinC1abcabcabcabc2ab

2ppapbpcab1absinC

即得

2由三角形面积公式

SSppapbpc

方法二：

上述证明用到了三角函数

sinC

、cosC，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。

2

B B A 图1 T C A C T 图2

BT是

△ABC

的AC

边上的高，点

T

为垂足。记

ABc，ACb，BCa，BTh，CTd（见上图）。

证明（2）：若

△ABC

是锐角三角形（图1），则由勾股定理有

a2d2h2222cbdh由（1）式得出

d1

2a2h2

，带入（2）式

：

cb2222展开，即得

cbah2b2ah22h

。

22a2h2h2

，由此式解得

4a2b2a2b2c22h4b2类似于证明（1），得出

abcabcabcabc

，

24b2h2由于三角形面积

S4ppapbpc

，

b21bh，由上式即得

2Sppapbpc

。

若

△ABC

是钝角三角形（图2），不失一般性，设

C90

，则由勾股定理有

a2d2h2222cbdh类似于

△ABC

是锐角三角形的情况，可得

3 1

3

h2因而亦得

S4ppapbpc

，

b2ppapbpc

。

若

△ABC

是直角三角形（图2），不失一般性，设

C90

，由勾股定理有

a2b2c2

。

ppapbpcabcabcabcabc22221ab2c2c2ab241ab2故，此时仍有

S



ppapbpc

。

4