1.3 二项式定理（通用）教学目标设计

二

项

式

定

理

任教者：谢大寨

【考纲要求】

会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

【考情分析】

1.本部分在高考中经常考查，主要有求二项展开式中的某一特定项、特定项的系数、已知某项的值求参数值、赋值法求值、利用二项展开式作不等放缩或近似计算等

2.命题形式多种多样，主要以选择题、填空题的形式出现，有时涉及函数与方程的思想方法

【知识重温】

一、必记3●个知识点

1．二项式定理

n(a＋b)＝ 。

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，

n右边的多项式叫做(a＋b)的二项展开式，

r其中的系数Cn(r＝0,1,2，…，n)叫做______________。

rn－rr式中的Cnab叫做二项展开式的________，用Tr＋1表示，

即展开式的第______项；Tr＋1＝__________________。

2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为 。

(2)每一项的次数之和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为 ______。

(3)字母a按 ______排列，从第一项开始，次数由n逐渐减1直到零；字母b按 ______排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n。

1n－1(4)二项式的系数从 ________，Cn，一直到Cn， ______。

3．二项式系数的性质

mn－m(1)对称性：与首末两端 ________的两个二项式系数相等，即Cn＝Cn。

k(2)增减性与最大值：二项式系数Cn，当 ______________时，二项式系数是递增的；当

____________时，二项式系数是递减的。

当n是偶数时，中间的一项 ______________取得最大值。

当n是奇数时，中间两项 ________和 ________相等，且同时取得最大值。

(3)各二项式系数的和：

nn(a＋b)的展开式的各个二项式系数的和等于2，即____________________________＝n2。

135二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn＋Cn＋Cn＋…024＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝ ______________。

二、必明3●个易误点

1. 要把“第几项的二项式系数”与“第几项的系数”严格地区别开来。

2．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”严格地区别开来。

3．通项公式是第r＋1项而不是第r项。

4．根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错。

【概念再理解】

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

kn－kk(1)在二项展开式中第k项为Cnab。(

) kn－kk(2)通项Cnab中的a和b不能互换。(

) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项。(

) n(4)(a＋b)的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关。(

) n(5)(a＋b)某项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号等构成，与该项的二项式系数不同。(

) 【高考真题再现】

（x1）的展开式中x的系数为15 ，则n(

) 1．(2015·陕西卷)二项式A．4 B．5 C．6 D．7 n2a5（x）的展开式中含x2的项的系数为30，则a(

) 2．(2015·湖南卷)已知xA.3 B．－3 C．6 D．－6 n3．(2015·湖北卷)已知(1＋x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(

) 1211109A．2 B．2 C．2 D．2

524．(2015·四川卷)在(2x－1)的展开式中，含x的项的系数是________(用数字填写答案)。

3（x5．(2015·重庆卷)312x85）的展开式中x的系数是________(用数字作答)。

【考点一】

求展开式中的指定项或特定项

典例1：已知在（3x123xn的展开式中，第6项为常数项。

）(1)求n ； (2)求含x的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项。

2

悟·技法

解此类问题可以分两步完成：

第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；

第二步是根据所求的指数，再求所求解的项。

【考点二】

二项式系数或项的系数的和问题

727典例2：已知(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a7x，求：

(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|。

悟·技法

(1)

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，

对形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令x＝1即可；

对形如(ax＋by)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可。

(2)

若f(x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a42n2mnnf(1)f(1)，

2f(1)-f(1)。

2偶数项系数之和为a1a3a5

【知识巩固】

1．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于（16215x）的展开式的常数项，而(a2＋1)n5x的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值。

2．设(2－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a100x1002100 求下列各式的值：

(1)a0；

(2)a1＋a2＋…＋a100；

(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；

22(4)(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)。