复习参考题精品学案

变量间的相关关系、统计案例

[最新考纲] 1．会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．

2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．

4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 知

识

梳

理

1．两个变量的线性相关

(1)正相关

在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)负相关

在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(3)线性相关关系、回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程

(1)最小二乘法

求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

(2)回归方程

^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x，y)，(x，y)，…，方程^y＝b1122^，b^是待定参数．

(xn，yn)的回归方程，其中a3．回归分析

(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(2)样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(x，y)称

为样本点的中心．

(3)相关系数

当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．

r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

4．独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．

(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

2y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

nad－bc2构造一个随机变量K＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容a＋bc＋da＋cb＋d量．

(3)独立性检验

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

1．“相关关系与函数关系”的区别

函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系．

2．三点提醒

一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．

二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．

三是独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这

点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．

考点一

两个变量间的相关关系

【例1】

(2013·湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且y

＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y

＝－3.476x＋5.648；

③y与x正相关且y

＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y

＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是

(

)．

^^^^A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

解析

①中，回归方程中x的系数为正，不是负相关；④方程中的x的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确．答案

D ^x＋a^中，b^代表x每增加一个单位，y平均增加的规律方法

在回归直线方程^y＝b^＞0时，说明两个变量呈正相关关系；当回归单位数，一般来说，当回归系数b^＜0时，说明两个变量呈负相关关系．

系数b【训练1】

对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(

)．

A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析

由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．答案

C 考点二

线性回归方程及其应用

【例2】

(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收

入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，i＝1i＝11010i＝1xiyi＝184，xi2＝720. i＝1^^^1010(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y

＝b

x＋a

；

(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y

＝b

x＋a

中，b

＝^^^^i＝1xiyi－n

x

y2x2i－n

xnn，a

＝y－b

x，其中^^i＝1x，y为样本平均值．

n1n1n^^2审题路线

先确定x＝nxi，y＝nyi⇒计算x2i－n

x⇒计算b⇒计算a⇒得i＝1i＝1i＝1^^到线性回归方程⇒由b的符号判断相关⇒把x＝7代入线性回归方程求y. 1n80解

(1)由题意知n＝10，x＝nxi＝10＝8，

i＝1n1n20y＝nyi＝10＝2，又xi2－nx2＝720－10×82＝80. i＝1i＝1i＝1xiyi－nx

y＝184－10×8×2＝24.由此得b

＝n^i＝1xiyi－10 x

y2x2i－10 x101024＝80＝0.3，

i＝1^^a

＝y－b

x＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y

＝0.3x－0.4. (2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b

＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．

(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y

＝0.3×7－0.4＝1.7(千元). ^^^

^^规律方法

(1)正确理解计算b，a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．

^^(2)回归直线方程y

＝bx＋a必过样本点中心(x，y)．

^(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．

【训练2】

(2014·南昌模拟)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据. 房屋面积x/m2

销售价格y/万元

(1)求线性回归方程；

(2)据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．

1解

(1)x＝5×(115＋110＋80＋135＋105)＝109，

1y＝5×(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2. ^x＋a^，则

设所求回归直线方程为^y＝b115

24.8

110

21.6

80

18.4

135

29.2

105 22 

xi－xyi－y^＝i＝1b5

xi－x2i＝1≈1.816 6. 5308^＝y－b^

x＝23.2－109×308＝1 570≈0.196 2，∴a1 570∴所求回归直线方程为^y＝0.196 2x＋1.816 6. (2)由第(1)问可知，当x＝150 m2时，销售价格的估计值为^y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．

考点三

独立性检验

【例3】

通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好

男

40

女

20

总计

60

不爱好

总计

220

60

30

50

50 110 2nad－bc22110×40×30－20×20由K＝算得，K＝≈7.8. a＋bc＋da＋cb＋d60×50×60×50附表：

P(K2≥k0)

k0

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是(

)．

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

解析

由7.8＞6.635知，有1－0.010即99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案

A 规律方法

利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给nad－bc2出这种判断的可信度，具体做法是根据公式K＝，计算a＋bc＋da＋cb＋d2随机变量的观测值k，k值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．

【训练3】

(2014·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)

(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：

50岁以下

主食蔬菜

主食肉类

合计

50岁以上

合计

(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．

解

(1)2×2列联表如下：

50岁以下

50岁以上

合计

主食蔬菜

4

16

20

主食肉类

8

2

10

合计

12 18 30 230×8－128(2)因为K2＝＝10>6.635，

12×18×20×10所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 课堂小结：

^，b^，由于a^，b^的计算量大，计算时应1．求回归方程，关键在于正确求出系数a仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．

2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求线性回归方程．

3．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．