2.2.1 综合法和分析法第一课时教学设计

直接证明的的基本方法－分析法

罗定中学

张燕红

教学目标：

1、结合已经学过的数学实例，了解分析法的思考过程、特点；2、能运用分析法证明数学命题。

德育目标：

通过学生的参与学习，培养他们的分析问题和解决问题的能力，学会凡事从多角度去看问题，懂得换位思考，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点；能运用分析法证明数学命题。

教学难点：对分析法的思考过程、特点的概括。

教学过程

一、

知识的回顾

1、综合法：也叫“由因导果”法或“顺推证法”，即从已知条件或某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理导出结论的一种证明方法

。

2、综合法的可概括为下面形式：（P是已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论。）

P

Q1 Q1

Q2

Q2

Q

…

Qn

Q

1

二、探究新课

1、设疑：是否所有数学命题的证明都能用综合法来证呢？（答案：不一定）

2、大家来参与：证明不等式：3725

成立

师：用综合法能证吗？

生：很难，条件不明显，很难入手。

师：作差法，行吗？

生：也很难发现差与零的大小，这种方法也比较难开展。

师：能否可以考虑从结论入手呢？（理由：我们发现不等式左右两边都是正数，我们只须逐步寻找出使结论成立的充分条件，直到得到一个明显成立的条件即可。）

3、师生共同完成上述证明过程：（省略）让学生体会一种合作精神。

4、让学生讨论：上述证明方法与综合法的证明过程有什么不同？

结论：与综合法的思维方向刚好相反的一种思考方法。它是从待证结论出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件。

师：引出课题：直接证明的的基本方法－分析法

5、让学生总结分析法的定义

（1）、分析法：也叫执果索因法（或逆推法），即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论

2

归结为判定一个明显成立的条件（已知条件，定理，定义，公理﹚为止的一种证明方法。

（2）、分析法的可概括为下面形式：（P是已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论。）

Q

P1

P1

P2

P2

P 3

…

得到一个明显成立的条件

三、例题分析

例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3b3a2bab2

师：你能用分析法解决这个问题吗？

师：哪位同学乐意为同学们做个范例呢

证明：(用分析法思路书写)

要证

a3+b3＞a2b+ab2成立，

只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，

即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

师：哪位同学又能否可以用综合法来解决上述问题呢？(以下用综合法思路书写) ∵a≠b∴a-b≠0∴(a-b)2＞0即a2-2ab+b2＞0

3

亦即a2-ab+b2＞ab 由条件知a+b＞0∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

师：通过对这道题的学习，你收获了什么数学知识？

生：证明一个数学命题，可以从条件入手，经过正确、严密的推理，得出结论，也可以从结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件，定理，定义，公理﹚为止。

师：还有吗？

生：解决数学问题应从多角度去考虑。

师：通过对本节课的学习，在生活上你有什么感悟吗？

生1：生活上，若遇上困难，一种方法行不通，我们应该另找的出路，不要灰心，总有阳光普照的那刻。

生2：处理同学、师生或与父母的关系的时候，要学会换位思考。

师：数学来源于生活，生活也处处情系数学，所以我们要学好数学，欣赏数学，品偿生活。

四、巩固练习

1、证明：不等式abab(a0,b0)

22、ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证：Bp五、小结：

2

1、本节课的重点是：了解分析法的思考过程和特点；能运用分析法证明数学命题。

4

难点：对分析法的思考过程和特点的概括；分析法和综合法的区别；

2、你收获了什么生活上的道理？

六、作业：P89 2，

反思：

一、

体会应用，对学生进行学习目的的教育

通过学习，让学生明确本节课的学习目的，学习的重点和难点，教师通过不断的引导，由浅入深，逐步突出学习的目的，激发学生学习的兴趣，让学生体会到数学来源于生活，生活又情系于数学。例如，通过对例题的剖析，目的一是使学生掌握本节课的教学任务：会运用分析法证明数学命题的证明，让学生能从多角度思考数学问题和分析问题；二是通过学习让学生懂得一些生活的道理，培养学生团结协作的精神。

二、注重细节的培养，教师进行言传身教，对学生进行行为示范的指导

本节课最值得注意的是用分析法书写证明过的格式，很多学生会与综合法混淆，所以在板演例题时，教师通过用对比的方式对学生的行为进行示范性的指导。以严谨的治学，工整、规范的板书，充满激情的教学态度来影响和感化学生，使学生“自生其心”，真正达到教书育人的目的。

5