复习参考题名师教学视频（文字实录）

《基本不等式》复习——教学设计

一、教材分析

本节课是选自人教A版高中数学必修5第三章第四节基本不等式的复习课。不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，建立不等观念，认识并处理不等关系是很重要的。基本不等式与必修1中函数的最值与值域有着非常密切的联系，同时也是不等式证明中非常有力的工具之一，但同时也是高中数学学习中的重点和难点，利用这堂课让学生能够深刻理解基本不等式的作用，灵活地应用基本不等式来解决最值及不等式证明等问题，

二、学情分析

在学习过了基本不等式后，学生对于基本不等式的印象非常模糊，并且随着时间的流逝，部分学生对于公式都不太熟悉，导致对于具体到题目的应用中根本应用不了基本不等式，并且学生本身数学基础较差，因此在上课时要循序渐进，留给学生思考时间。

三、教学目标

1、知识与技能目标：理解掌握基本不等式及其几个常用变形，灵活运用基本不等式解决最值和不等式证明等问题。

2、过程与方法目标：通过有关最值或不等式问题的探究来加深学生对基本不等式在研究函数值域中的重要作用，提高学生对转化和整体思想的认识与运用。

3、情感态度与价值观目标：培养学生思考问题的科学性和严谨性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

四、教学重难点

教学重点：基本不等式求最值 教学难点：隐蔽性较强或需要转化的基本不等式求最值问题的常用处理方法

五、教法学法分析

结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我将“引导式”教学、“探究式”与“讲授式”教学有机结合，充分利用多媒体辅助教学

，通过教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。在学法上，以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。

六、教学过程

（一）回顾旧知

ab

2(1)基本不等式成立的条件:

.

(2)等号成立的条件:当且仅当

时取等号.

2.几个重要的不等式

1.基本不等式ab(1)a2b2 a,bR.

ab(2) a,b同号. baab(3)ab. 22abab(4). 223.算术平均数与几何平均数

设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为

,几何平均数为

, 基本不等式可叙述为:

.

4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,则

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时, x+y有最小值是

(简记:积定和最小).

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时, xy有最大值是

(简记:和定积最大).

设计意图：帮助学生回顾基础知识，以学生的回答为主，为后面例题的讲解提供知识储备。

（二）典例讲解

题型一：利用配凑法求最值

例1:（1）已知x3y1x0,y0，则xy的最大值是

.

（2）若a0，则a2228的最小值为

. 2a1（3）已知2a4b2a,bR，则a2b的最大值为

.

设计意图：主要是教师板演例题，让学生熟悉基本不等式应用过程中的书写格式及条件。利用几个典型的可以配凑成基本不等式求最值的题目，并且在题目中回顾基本不等式的直接应用，帮助学生尽快熟悉基本不等式的应用。

练习：1.已知x0,1，则yx14x的最大值为

.

44的最小值为

.

x1 2.当x4时，xx2 3.函数yx1的最大值为

. x1设计意图：请学生来板演完成练习题，利用练习来巩固配凑法的应用，并且更加深刻理解基本不等式的应用条件：一正二定三相等，帮助学生正确应用基本不等式求解问题。

题型二：利用常数代换法求最值

例2（1）已知函数y1log0m1的图象恒过点M，若直线mxm且xy1a0,b0经过点M，则ab的最小值为（ ）

abA.2

B.3

C.4

D.5 （2）已知正项等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am,ap，使得amap16a12，则14的最小值为（ ）

mpA.

B.9

C.

D.不存在

练习：1.设直角坐标系xOy平面内的三点A1,2,Ba,1,Cb,0，其中a0,b0，12若A,B,C三点共线，则的最小值为（ ）

abA.4

B.6

C.8

D.9 2.已知a,b都是正实数，若直线2xb3y60与直线bxay50互相垂直，则2a3b的最小值为（ ）

A.12

B.10

C.8

D.25 设计意图：常数代换法在基本不等式中的应用非常常见，尤其是含有分式的求最值问题中。通过例题能够为学生在这类问题的解决提供方法论基础，在讲此类题目时，学生很有可能会先想到消元法来解决，那么可以顺着学生思路先解决问题，再给以常数代换法，体会数学的奇妙之处，感受数学的乐趣。

题型三：利用消元法求最值

例3（1）已知正实数a,b满足ab40，则uA.有最大值14

52a3b（ ）

ab14

B.有最小值

52C.有最小值3

D.有最大值3 2x的最小值为

.

xy（2）已知实数x0,y0，且满足xy1，则练习：若a,b,c都是正数，且abc2，则A.2

41的最小值是（ ）

a1bc

B.3

C.4

D.6 设计意图：消元法在高中数学学习中是一种非常重要而且很通用的方法，二元问题转化为学生熟悉的一元问题，相对来说，这类题目应该是学生最容易消化吸收的问题。主要帮助学生巩固与加深对消元法的理解和应用。

题型四：利用两次基本不等式求最值

例4已知ab0，那么a21的最小值为

. bab11的最小值是（ ）

abaab

D.4 练习：1.设ab0，则a2A.1

B.2

C.3

2.若x,y,z均为正实数，则xyzy的最大值为（ ）

222xyzA.2

2

B.2

C.1

3

D.

设计意图：求最值的问题中，有些式子结构是比较复杂的，甚至可能含有三元问题，就会出现需要利用两次基本不等式才能求出最值。通过这类题目的研究和探索，让学生对于基本不等式的结构特点有一个更深的了解。在这个讲解过程中，特别要注意对两次基本不等式中等式成立的条件能否同时成立。

（三）思考题：

a44b411.若a,bR,ab0，则的最小值为

.

ab2.若二次函数f为

. x4x的c值域为0,，则xa2ac的最小值22c4a4

设计意图：分类作业有助于不同层次的学生各有所得，贯彻新课程下“因材施教”的理念。

（四）小结：

1.基本不等式及几个重要不等式

2.利用基本不等式解决最值的几种题型

（1）利用配凑法求最值

（2）利用常数代换法求最值

（3）利用消元法求最值

（4）利用两次基本不等式求最值

（五）课后作业

第35讲

基本不等式

基础热身

1.[2017·北京海淀区一模]

若m

(

)

A.

>

B.

>

C.

+

>2 D.m+n>mn

2.[2017·青岛质检]

已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有

(

)

A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20 D.最大值200 3.[2017·赤峰模拟]若函数f

=x+A.1+

B.1+

C.3 D.4 4.[2017·天津河东区二模]

已知a>0,b>0,且2a+b=4,则 的最小值是

.

5.[2017·成都九校联考]

设正数a,b满足a+2b=1,则

+

的最小值为

.

-

(x>2)在x=a处取得最小值,则a= (

)

能力提升

6.[2017·郑州三模]

若实数a,b,c均大于0,且(a+c)·(a+b)=

6-2

,则2a+b+c的最小值为

(

) A.

-1 B.

+1 C.2

+2 D.2

-2 7.[2017·雅安三诊]

对一切实数x,不等式x2+a

+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是

(

) A.

- -

B.

-

C.

-

D.

8.[2017·乌鲁木齐三模]

已知x,y∈R,x+y+xy=315,则x+y-xy的最小值是

(

) B.105 2222A.35 C.140 D.210 9.[2017·泉州模拟]

已知2a+2b=2c,则a+b-2c的最大值为

(

) A.-2

B.-1

C.

D.-

10.[2017·深圳调研]

若函数f

=x+

-

(m为大于0的常数)在(1,+ )上的最小值为3,则实数m的值为

.

11.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架,则该三棱柱的侧面积的最大值是

.

12.[2017·日照三模]

已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则

+

的最小值为

.

13.已知a,b,c为正实数,且a+b+c=3,证明:

+

+

≥3.

14.[2017·黄冈中学模拟]

某公司生产一批A产品需要原材料500吨,每吨原材料可创造利润12万元.该公司通过设备升级,生产这批A产品所需原材料减少了x(x>0)吨,且每吨原材料创造的利润提高了0.5x%.若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品,每吨原材料创造的利润为12a- x万元,其中 a>0.

(1)若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产这批A产品的利润,求x的取值范围; (2)若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润,求a的最大值.

难点突破

15.[2017·河南豫南六市联考]

已知函数f

=ax2+bx+c(b>a),对任意的x∈R,f

≥0恒成立,则A.3 B.2 C.1 D.0

-

的最小值为

(

) 16.[2017·湛江二模]

已知a>b,二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又存在

x0∈R,a

+2x0+b=0,则

-

的最小值为

.

（六）教学反思

1.数学能力中主要包括观察能力、思维能力、空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力。在老师引导之下，学生通过自己的认真观察，发现基本不等式左右两边的结构特征，理解了在代数变形之后能够巧用基本不等式来求最值。对于绝大部分学生来说在对于利用基本不等式求最值的问题中有了方法论的基础。

2.学生的基础较差，对于数学比较薄弱的学生在本节课也能对基本不等式有一个比较深刻的理解，但还是对于基本不等式的后两个题型中比较难突破，这个只能在后续的作业练习中，不断巩固加深，循序渐进，寻求突破。

3.本节课对于学生的反应情况应该加入更多的预设，这样可能可以让整节课更加顺畅，更好地将基本不等式的应用展现给学生。