信息技术应用 估计√2的值教学设计和教学实录

求数列通项公式的方法、 求数列前n项和的方法

一、求数列通项公式方法 （1）．公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，

求an；

2.已知数列{an}满足a12,anan11(n1)，求数列{an}的通项公式；

3.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0

（nN），求数列an的通项公式；



4. 已知数列{an}满足a12,

1an112，求数列an的通项公式；

an

5.设数列{an}满足a10且

6.等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a39a2a6，求数列{an}的通项公式

7. 已知数列{an}满足a12,an3an1(n1)，求数列{an}的通项公式；

8.已知数列{an}满足a12，a24且an2anan1

（nN），求数列an的通项公式；

2111，求{an}的通项公式

1an11an2

9.已知数列{an}满足a12，且an15n12(an5n)（nN），求数列an的通项公式；

10.

已知数列{an}满足a12，且an152n123(an52n2)（nN），求数列an的通项公式；

（2）累加法

适用于：an1anf(n)

a2a1f(1)若an1anf(n)(n2)，则

a3a2f(2) an1anf(n)n

两边分别相加得

an1a1f(n)

k1

例：1.已知数列{an}满足a1

1,2an1an14n21，求数列{an}的通项公式。

2.

已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

3.已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

4.设数列{an}满足a12，an1an322n1，求数列{an}的通项公式

（3）累乘法

适用于：

an1f(n)an

若an1aaf(n)，则2f(1)，3f(2)，ana1a2a，n1f(n)

annan1两边分别相乘得，a1f(k)

a1k1

例：1. 已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

2.已知数列an满足a1

3.已知a13，an1

2nan，求an。

，an13n13n1an

(n1)，求an。

3n2（4）待定系数法 适用于an1qanf(n)

解题基本步骤：

1、确定f(n)

2、设等比数列an1f(n)，公比为2

3、列出关系式an11f(n1)2[an1f(n)]

4、比较系数求1，2

5、解得数列an1f(n)的通项公式

6、解得数列an的通项公式

例：1. 已知数列{an}中，a11,an2an11(n2)，求数列an的通项公式。

2.在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________

3.数列已知数列an满足a1

1,an4an11(n1).则数列an的通项公式= 2

4.已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。

解：设an1x5n12(anx5n)

5.已知数列an中，a1

6.

已知数列{an}满足an12an43n1，a11，求数列an的通项公式。

511n1,an1an()，求an

632注：

递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。

先把原递推公式转化为an2san1t(an1san)

其中s，t满足stp

stq7.

已知数列{an}满足an25an16an,a11,a22，求数列{an}的通项公式。

（5）递推公式中有Sn

分析：把已知关系通过an后采用相应的方法求解。

1.（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1a4的值及数列{an}的通项公式．

2.（2005山东卷）已知数列an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn1Snn5(nN*)，证明数列an1是等比数列．

S1,n1转化为数列an或Sn的递推关系，然SnSn1,n21Sn，n=1，2，3，……，求a2，a3，3

3.

已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn求数列{an}的通项公式。

1(an1)(an2)，且a2,a4,a9成等比数列，6（6）倒数变换法

适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例：1.

已知数列{an}满足an1

2an,a11，求数列{an}的通项公式。

an2

（7）对无穷递推数列

消项得到第n1与n项的关系

例：1.已知数列{an}满足a11，ana12a23a3

2n12.设数列an满足a13a23a3…3an(n1)an1(n2)，求{an}的通项公式。

n*，aN．求数列an的通项；

3

二、数列求和的方法

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

na1(q1)n(a1an)n(n1)Snna1d Sna1(1qn)

公比含字母时一定要讨论

(q1)221q

其他常用公式: nk123k1nn(n1)；

21kk1nn2122232132333n2n(n1)(2n1)；

61kk1nk13n3[n(n1)2]2；

(2k1)135...(2n-1)n2。

例：1.已知等差数列{an}满足a11,a23，求前n项和{Sn}

2.设f(n)2222

A.471023n10(nN)，则f(n)等于（ ）

D.2n22(81) B.(8n11) C.(8n31)

7772n4(81)

7

2.

分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

例：数列{an}中，a11，且点(an, an1)(nN)在函数f(x)x2的图象上. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）在数列{an}中，依次抽取第3，4，6，…，2项bn及前n项和Sn.

3．错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.例：1．求和Sn12x3x2

2.求和：Sn

n12，…项，组成新数列{bn}，试求数列{bn}的通nxn1

123n23n

aaaa

3.设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313 （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn．

bn

4．裂项相消法求和： 即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于c其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

anan1如：an等差数列

1）

11111()；

可裂项为：anan1danan1anan12）11（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消

求和）

(an1an)。anan1d

常见裂项公式：

（1）（2）（3）（4）1n(n1)1n1n1；

11n(nk)1(kn11nk1)；

1(n1)(n2)n(n1)(n1)[12n(n1)]；

n(n1)!1n!1(n1)!

2n1n（5）常见放缩公式：2(n1n)1n2nn12(nn1).

例：1.已知数列{an}的通项公式为an

2.已知数列{an}的通项公式为an

3.已知数列{an}的通项公式为an＝

4．求1

1，求前n项的和；

n(n1)1nn1，求前n项的和．

n111，设Tn2a1a3a2a41，求Tn．

anan21111,(nN*)。

121231234123n

5．倒序相加法求和 如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的。

例：

综合练习：

1.设数列{an}满足a10且111

1an11an（1）求{an}的通项公式 （2）设bn

1an1n,记Snbk，证明：Sn1

k1n2.等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a39a2a6

2

（1）求数列{an}的通项公式 （2）设bnlog31log32...log3n，求数列{

3.已知等差数列{an}满足a20, a6a810. (1)求数列{an}的通项公式及Sn （2）求数列{

4 .设数列{an}满足a12，an1an322n1

（1）求数列{an}的通项公式 （2）令bnnan，求数列{bn}的前n项和Sn

aaa1}的前n项和

bnan}的前n项和

n12

5.已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，{an}的前n项和Sn

（1）求an及Sn （2）令bn

1an12（nN），求数列{bn}前n项和Tn

