2.基本不等式优质课教案

高三复习课

第2讲

基本不等式

教学目标：

一、知识与技能：

1、利用基本不等式求最值

2、分析常见错解原因并正确运用基本不等式。

3、熟练掌握配凑法、“1”的妙用等运用基本不等式求最值的方法

二、过程与方法：

1、让学生对错题的分析认清基本不等式的三个条件，一正二定三相等。

2、让学生对问题探究、归纳总结得出一般的解题方法，熟练掌握运用基本不等式求最值的方法。

3、通过变式练习让学生逐渐形成知识结构，并牢固掌握知识点，培养学生通过探讨、研究学习知识点的方法，提高分析问题与解决问题的能力。

三、情感、态度与价值：

由小组学习，合作学习提高学生探讨、研究学习兴趣；由一题多解、多题一解提高学生的思维的灵活性，增强学生化归思维方法，转化化归能力，提高学生的解题能力和学习数学的兴趣。

教学方法：小组学习法、讲练结合法。

教学重点：

1、基本不等式成立的条件

2、配凑法、“1”的妙用

3、化归思想

教学难点：

错解分析与配凑法、“1”的妙用两种方法的应用

教学用具：多媒体课件

知识梳理：

a＋b1．基本不等式ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两2个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大) 4要点整合：

1．辨明两个易误点

(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可．

(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

2．活用几个重要的不等式

baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)；

aba＋ba＋ba＋bab≤(a，b∈R)；22≤2(a，b∈R)．

3．巧用“拆”“拼”“凑”

在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

课前及时练

1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(

) A．a2＋b2>2ab

112C.＋>

ababB．a＋b≥2ab

baD.＋≥2 ab2222

D

[解析] 因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．

对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．

ba对于D，因为ab>0，所以＋≥2 abba·＝2. ab112．(2017·郑州模拟)设a>0，b>0，若a＋b＝1，则＋的最小值是(

) abA．2

C．4

1B.

4D．8

11a＋ba＋bba

C

[解析]“1”的妙用

由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 abababba×＝4，当且仅abba11当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.这里是把1转化成了a+b。学生中也有把ab2a1＋直接乘以a+b，更方便。

b43．若x>1，则x＋的最小值为________．

x－1444[解析]配凑法

x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成x－1x－1x－1立．

[答案] 5 4.教材习题改编

若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．

x＋y[解析] 设矩形的长为x

m，宽为y

m，则x＋y＝10，所以S＝xy≤2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．

[答案] 25 m2

考点1 利用基本不等式求最值(高频考点) 利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．

高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：

(1)知和求积的最值；

(2)知积求和的最值；

(3)求参数的值或范围．

[典例引领] 12

(1)(2015·高考湖南卷)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为(

) abA.2

C．22

B．2 D．4 214(2)(2017·甘肃定西通渭榜罗中学期末)已知a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是ab________．

(3)(2015·高考重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．

12【解析】

(1)由＋＝ab知a>0，b>0，

ab

12所以ab＝＋≥2 ab2，即ab≥22，

ab44即a＝2，b＝22时取“＝”，

ab，当且仅当12a＋b＝12＝，ab所以ab的最小值为22.

(2)因为ln(a＋b)＝0，所以a＋b＝1，

又因为a＞0，b＞0，

1414b4a＋＝5＋＋

所以＋＝(a＋b)ababab≥5＋2b4a×＝9.

abb4a2当且仅当＝，即b＝2a＝时取“＝”．

ab3(3)令t＝a＋1＋b＋3，则t2＝a＋1＋b＋3＋2（a＋1）（b＋3）＝9＋2（a＋1）（b＋3）≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，

73当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.

22所以

tmax＝18＝32. 【答案】

(1)C

(2)9

(3)32

利用基本不等式求最值需满足的三个条件

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．

[题点通关]

角度一

知和求积的最值

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(

) A．80

C．81

22B．77 D．82 x＋y18

C

[解析] xy≤2＝2＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.

角度二

知积求和的最值

Sn＋82．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是(

) an9A.

21C．22＋

27B.

21D．22－

2n（1＋n）

A

[解析] 因为an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，

2n（1＋n）＋82Sn＋8161n＋＋1

所以＝＝nann21≥22169n·＋1＝2，当且仅当n＝4时取等号．

nSn＋89所以的最小值是，故选A. an2

角度三

求参数的值或范围

a3．(2017·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则ax的值是(

) 1A.

2C．1

3B.

2D．2 a

C

[解析] 由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时xa取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号．所以x2－2a＝0，解得a＝1，故选C. 2a＋2＝4，考点2 利用不等式解决实际问题

[典例引领]

某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图中阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.

(1)试用x，y表示S；

(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？

【解】

(1)由题意可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，

y－38所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)＝1 808－3x－y(x＞3，y＞3)．

3381 800(2)法一：S＝1 808－3x－×

3x4 8003x＋＝1 808－x≤1 808－2＝1 808－240＝1 568，

4 8001 800当且仅当3x＝，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝＝45，

xx所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．

4 8003x＋法二：设S＝f(x)＝1 808－x(x＞3)，

3（40－x）（40＋x）4 800则f′(x)＝2－3＝，

xx2令f′(x)＝0，则x＝40，

当3＜x＜40时，f′(x)＞0；当x＞40时，f′(x)＜0.

所以当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45，

所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．

4 8003x×

x

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低8x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

5(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域．

(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

x81－·1001＋x.

[解] (1)由题意得y＝1001050x1－－80≥0，得x≤2.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋因为售价不能低于成本价，所以100108x)，定义域为[0，2]．

113(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.所以x的取24值范围是12，2. 课后作业：试卷

基本不等式