2.基本不等式主要内容及教案内容

§3.1基本不等式教学目标：

1、知识与技能目标：（1）掌握基本不等式ababab

2ab,认识其运算结构；

2（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；

（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；

（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；

（2）体会多角度探索、解决问题。

教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。

教学难点：利用基本不等式ab教学过程：

一、创设情景，引入新课

1.勾股定理的背景及推导

ab求最值的前提条件。

2

赵爽弦图

引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。

2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？

引导学生从面积关系得到不等式：a2+b2≥ 2ab，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH缩为一个点时，有ab2ab

（2）总结结论：一般的，如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

（3）推理证明：作差法

二、讲授新课

重要不等式：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2

≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

2222

1.思考：如果用a,b去替换ab2ab中的a,b能得到什么结论？a,b要满足什么条件？

结论：ab≤22ab(a0,b0)，当且仅当ab时取等号。

22.推理证明：作差法

a

＋b说明：1）我们称

为a，b的算术平均数，称ab

为a，b的几何平均数，因而，此定2理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a

＋b2）a＋b≥2ab和

≥ab

成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者2 2 2要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义：当ab时，等号成立，其含义是：如果ab那么

仅当ab时，等号成立，其含义是：如果

综合起来：其含义是：ab等价于abab

2abab那么ab

2abab

24）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项

－问：a，b∈R？

3.(1)探究:(课本P88)

如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 ab表示圆的半经，ab表示半弦长CD,得到2ab不等关系：ab≤(a0,b0)

2引导学生发现：几何意义：半弦长不大于半径长。

我们称ab为正数a,b的几何平均数，称ab为正数a,b的算2术平均数。

代数意义：几何平均数小于等于算术平均数

三、例题讲解

例1：设a,b为正数，证明不等式：ab211ab22ab2ab2ab

故：ab证法（1）由a0,b0知

11ab2ab11abab111111abab1ab2

证法（2）由a0,b0知112ab2abab

证法（3）（几何解析

数形结合）

AB是圆O的直径，ACa,CBb，过C作

DCDAB交圆O上半圆于点D，过点C作

CEOD交OD于点E

2在RtOCD中，由射影定理知DCDEOD

ADC2ab2即：DE

ab11OD2ab2由于DCDE得ab，当且仅当ab时，等号成立

11abEOcBab2a2b2aba2b2)

abab结论：

ab(

112222ab例2：若0x1，求yx(1x)的最大值。

1变：若0x，求yx(12x)的最大值。

22设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件

四、课时小结

1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征

（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义 2．思想方法技巧：（1）数形结合思想

（2）换元法、作差法

（3）配凑等技巧

五、作业