探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大PPT配套优秀教学设计内容

基础梳理

1．所谓独立重复试验，是在相同的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，也叫贝努里试验．

特点：每一次试验的结果只有两种(某事要么发生，要么不发生)，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

2．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，如果在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)kkn－k＝Cnp(1－p)，k＝0，1，2，…，n．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

自测自评

1．下列试验中，是独立重复试验的是(C) (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率P是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；

(3)口袋装有5个白球、3个红球、2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球；

(4)口袋装有5个白球、3个红球、2个黑球，从中有放回的抽取5个球，恰好抽出4个白球．

A．(1)、(2)、(3) B．(2)、(3)、(4) C．(2)、(4) D．(3)、(4) 解析：由独立重复试验的概念知(2)、(4)是独立重复试验．故选C. 2．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是(A) A．0.33 B．0.066 C．0.5 D．0.45 解析：由n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式可知这5棵树苗恰好成活4棵的概444率为C5×0.9×0.1≈0.33，应选A.易错选B，误认为所求概率为0.9×0.1≈0.066. 653．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，81则事件A在一次试验中发生的概率是(A) 1252A. B. C. D.

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分不清超几何分布和二项分布致错

【典例】

根据我国相关法规规定，食品的含汞量不得超过1.00 ppm，沿海某市对一

种贝类海鲜产品进行抽样检查，抽出样本20个，测得含汞量(单位：ppm)数据如下表所示：

分组

频数

(0，

0．25]

6

(0.25，

0．50]

4

(0.50，

0．75]

3

(0.75，

1]

2

(1，

1．25]

2

(1.25，

1．50] 3 (1)若从这20个产品中随机任取3个，求恰有一个含汞量超标的概率；

(2)以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体，若从这批数量很大的贝类海鲜产品中任选3个，记ξ表示抽到的产品含汞量超标的个数，求ξ的分布列．

解析：(1)记“从这20个产品中随机任取3个，恰有一个含汞量超标”为事件A，则所C5C1535求概率为P(A)＝3＝. C207651(2)依题意，这批贝类海鲜产品中含有汞量超标的概率为P＝＝. 204所有ξ的取值为0，1，2，3，

121P(ξ＝0)＝C40303327＝，

46413227＝，

4642319＝，

4643301＝，

4641P(ξ＝1)＝C4131P(ξ＝2)＝C4231P(ξ＝3)＝C433故ξ的分布列如下：

ξ

0

27

641

27

642

9

643 1

64P 【易错剖析】本题第(2)是二项分布问题，求解时，易作为超几何分布问题处理，造成错解．由二项分布和超几何分布的定义可知，二项分布与超几何分布的区别在于是“有放回抽样”还是“无放回抽样”：

①从含有M件次品的N件产品中，无放回的抽取n件，恰好有X件次品数，则X服从超CMCN－M几何分布P(X＝m)＝n. CN②从含有M件次品的N件产品中，有放回的抽取n次，恰好有X件次品数，则X服从kkn－k二项分布P(X＝k)＝CnP(1－p). mn－m

基础巩固

1．设在一次试验中A出现的概率为P，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率

为Pk，则(B) A．P1＋P2＋…＋Pn＝1

B．P0＋P1＋P2＋…＋Pn＝1 C．P0＋P1＋P2＋…＋Pn＝0 D．P1＋P2＋…＋Pn－1＝1 2．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(B) 3311A.

B. C.

D.

48341解析：抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为

2113P＝C×＝. 22823243．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概5率是(B) A.C.1696

B.

625625192256

D.

625625244解析：P＝C521296＝. 56254．一袋中装有5个红球，3个白球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现8次为止，记ξ为取球的次数，则P(ξ＝10)＝________(写出表达式即可)．

解析：依题意知，ξ＝10表示“取得红球的事件”，在前9次恰有7次取得红球，第53575310次取得红球，故P(ξ＝10)＝C×＝C9. 888887972825答案：C879832

8能力提升

5．(2013·福州高二检测)甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为(A) 23223A．C× B．C3×

5553233213232C．C× D．C4×

55333433

32解析：依题意可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若甲打完4局才胜，则甲在55323232前3局中胜两场，而第4局必胜．所以P＝C××＝C3×.故选A. 5555523236．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(A) A．[0.4，1) B．(0，0.4] C．[0.6，1) D．(0，0.6] 解析：由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，

13222∴C4p(1－p)≤C4p(1－p)，

∴2(1－p)≤3p，

∴p≥0.4，又0≤p<1，

∴0.4≤p<1. 7．(2013·广东珠海高二下学期期末)姚明比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是____________．

解析：设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B(3，0.9)，所以他在3次罚22球中罚失1次的概率为P(X＝2)＝C30.9×(1－0.9)＝0.243. 答案：0.243 8．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中1选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率2是________．

解析：设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2－－名学生选做同一道题的事件为“AB＋AB”，且事件A、B相互独立．

11111－－－－所以P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋1－×1－＝. 222221答案：

29．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇1到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min. 3(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．

解析：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，1114所以事件A发生的概率为：P(A)＝1－×1－×＝. 33327(2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0，1，2，3，4)．由题意，得

2161232，

P(B0)＝＝，P(B1)＝C14×＝381338143

812P(B2)＝C×＝. 3327242由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B发生的8概率为P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝. 910．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．

解析：(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训” 为事件A，“该人参加过计算机培训” 为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75. 任选1名下岗人员，该人没有参加培训的概率是

P1＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.25＝0.1. 所以该人参加过培训的概率是

P2＝1－P1＝1－0.1＝0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布k3－kB(3，0.9)，P(ξ＝k)＝Ck(k＝0，1，2，3)，

3× 0.9×0.1即ξ的分布列为：

ξ

0

0.001

1

0.027

2

0.243

3 0.729 P