复习参考题优质课教案内容

3.3.2 简单的线性规划问题

福建省漳州市第八中学

王雪惠

一、教学目标（1）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题（2）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢（3）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育二、教学重点、教学难点教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题三、教学过程（一）复习引入 上节课我们已经了解了如何来画二元一次不等式（组）表示的平面区域，那么，在上节课学习的基础上，这节课我们要接着来学习新的内容——简单的线性规划问题。

那么，什么是规划问题呢？

举个例子，我们现在的生活水平越来越高了，大家对饮食除了考虑营养充不充足以外，还会去考虑怎么吃才不会营养过剩进而导致肥胖，所以营养学家相应推出了很多健康饮食食谱，那么这边的饮食食谱实际上就是对饮食的一种规划。

再比如，加入你是一个工厂的老板，现在厂里资源有限，你怎么安排生产才能使得工厂在资源有限的条件下产能最大化，这是一种规划问题，等等。

在生活中有很多这样的规划问题，通过这节课的学习，我们就可以来解决生活中的一些简单的规划问题。

（二）探究新知例1、某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个A配件耗时 1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8 h计算，（1）该厂所有可能的日生产安排是什么？（2）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？

解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得

二元一次不等式组

x＋2y8x2y8

4x16x4

4y12y3

x0x0



y0y0设工厂的利润为z，则z=2x+3y

将上述不等式组表示成平面上的区域，

图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。当目标函数过M点时，Z最大

由x+2y=8与x=4联立得x=4，y=2 ∴M点的坐标为(4，2) ∴zmax=2×4+3×2=14 即利润最大为14万元

例2、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07 kg的蛋白质, 0.14kg的脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14 kg的蛋白质, 0.07kg的脂肪,花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg? 分析:将已知数据列成下表

食物／kg 碳水化合蛋白质脂肪／kg

物／kg /kg

A 0.105 0.07 0.14

B 0.105 0.14 0.07

解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么

0.105x＋0.10y0.0757x7y5

0.07x＋0.14y0.067x14y6

0.14x0.07y0.0614x7y6

x0x0



y0y0目标函数为：z＝28x＋21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域

4z把目标函数z＝28x＋21y 变形为

y3x21这是斜率为 、在y轴上的截距为 的一组平行直线.

4z由图知,当直线

yx321经过可行域上点M时,截距最小, 即z最小.

5x3y 15（三）练习：

求z=3x+5y的最大值和最小值,使x、y满足约束条件

yx1x-5y 3

解：作出可形域，如图

(1)当直线z=3x+5y过点B时z取得最大值17; (2)当直线z=3x+5y过A点时z取得最大值-11. 变式1.若求z=x-2y的最大值和最小值呢？

变式2.使z=x-y取得最小值的最优解有几个? 注：目标函数的最优解有时是唯一的，有时是不唯一的，

甚至是无穷多个。

（四）小结：

解线性规划问题的步骤： （1）列：设出未知数,列出约束条件,确定目标函数；

（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；

（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； （4）求：通过解方程组求出最优解； （5）答：作出答案。 注：1.线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。

2.求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义—— 在 y 轴上的截距或其相反数。

（五）作业：

习题3.3

A组

4