3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学实录

复数代数形式的乘法和除法运算．

教学目标：

掌握复数代数形式的乘法和除法运算．

理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

理解共轭复数的概念．

本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概念．

本节难点：复数的除法运算．

讲授新课

学习要点点拨

1．复数的乘法、乘方

复数的乘法与多项式的乘法是类似的，运算过程中把i看作一个字母，但必须在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并．在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律仍然成立．

正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．须特别注意：|z|≠z(z为虚数) 2．复数的除法

复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，再化简．可类比有理数运算中的分母有理化学习．

3．共轭复数

222

在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点关于实轴对称．

课前自主预习

1．复数的乘法

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋2adi＋bdi＝

(ac－bd)＋(ad＋bc)i

(a，b，c，d∈R)．

2．复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

z1·z2＝

z2·z1

(z1·z2)·z3＝

z1·(z2·z3)

乘法对加法的分配律

z1(z2＋z3)＝

z1z2＋z1z3

3.共轭复数的概念

一般地，当两个复数的实部

相等

，虚部

互为相反数

时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为z. 4．复数的除法

a＋bia＋bic－di(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＝

c＋dic＋dic－diac＋bdbc－ad22＋22i

c＋dc＋d

，复数除法运算的实质是

分母实数化

．a＋bi(a，b∈R)的实数化因子是a－bi.

5．i的一些运算结论．

①(1±i)＝

±2i

. 1＋i②＝

i

1－i1－i

，＝

－i

1＋i

. ③i(n∈z)具有周期性

i

n＝4k＋1－1

n＝4k＋2ni＝－i

n＝4k＋31

n＝4kn2

(k∈z)，

6．两个复数的平方和为零是这两个复

数同时为零的

必要不充分

条件．

22z1＝0，z2＝0⇒z1＋z2＝0. 22z1＋z2＝0 z1＝0且z2＝0，例如z1＝i，

z2＝1，满足22z1＋z2＝0. 课堂典例讲练

思路方法技巧

命题方向

复数的乘法与乘方

[例1]

(2013·浙江文)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝(

) A．5－5i

B．7－5i C．5＋5i

D．7＋5i

[解析]

本题考查了复数的乘法运算．

(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i＝5＋5i，选C. 复数的乘法运算类似于多项式的运算，但要注意i＝－1. [答案]

C

(2013·天津文)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. [答案]

5－5i [解析]

本题考查了复数的乘法运算．

(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i＝5－5i. 222

命题方向

复数的除法

a＋3i[例2]

若复数(a∈R，i为虚数1＋2i单位)是纯虚数，则实数a的值为(

) A．－2

C．－6

B．4 D．6 [分析]

复数为纯虚数，须先将复数写成代数形式，因此必须先分母实数化，再化简．

a＋3ia＋3i1－2i[解析]

∵＝＝1＋2i1＋2i1－2ia＋6＋3－2aia＋6＝0为纯虚数，∴，53－2a≠0

∴a＝－6. [答案]

C

(2012·北京文，2)在复平面内，复数10i对应的点的坐标为(

) 3＋iA．(1,3)

B．(3,1) C．(－1,3)

D．(3，－1) [答案]

A [解析]

本题考查复数的乘法与除法．

10i3－i10＋30i10i＝＝10＝1＋3i. 3＋i3＋i3－i10i∴复数对应的点坐标为(1,3)．

3＋i[点评]

复数运算中乘法、除法是考查的重点.

建模应用引路

命题方向

共轭复数

2＋i[例3]

复数的共轭复数是1－2i(

) 33A．－5i

B.5i C．－i

D．i [分析]

通过运算把复数写成a＋bi(a、b∈R的形式)，则其共轭复数为a－bi. 2＋i2i－1[解析]

依题意：＝＝－1－2i1－2i·i1＝i，

i

∴其共轭复数为－i，选C. [答案]C

(2013·山东理)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(

) A．2＋i

C．5＋i

[答案]

D [解析]

本题主要考查了复数的运算和共轭复数的概念．

5∵(z－3)(2－i)＝5，∴z－3＝＝2－iB．2－i D．5－i

52＋i＝2＋i，∴z＝5＋i，＝5－i. 2－i2＋i探索延拓创新

命题方向

综合应用

[例4]

若复数z在复平面内的对应点4在第二象限，|z|＝5，对应点在直线y＝3x上，则z＝________. 4[分析]

利用对应点在直线y＝3x上可设出z或，再利用|z|＝5可列方程求解，最后由z的对应点在第二象限决定取舍．

[解析]

设＝3t＋4ti(t∈R)，

则z＝3t－4ti，

∵|z|＝5，∴9t＋16t＝25，

∴t＝1，

∵z的对应点在第二象限，∴t<0，

∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.

222[答案]

－3＋4i

(2013·安徽文)设i是虚数单位，若复10数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为3－i(

) A．－3

C．1

[答案]

D [解析]

本题考查复数除法及虚数定

B．－1 D．3

义．

103＋i10a－＝a－＝a－(3＋i)3－i3－i3＋i＝(a－3)－i，∴a＝3.

课堂巩固练习

一、选择题

5－i1．设i为虚数单位，则＝(

) 1＋iA．－2－3i

B．－2＋3i C．2－3i

D．2＋3i [解析]

本题考查了复数的除法运算．

5－i5－i1－i4－6i＝＝2＝2－3i. 1＋i1＋i1－i

[答案]C 2．(2013·北京文)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[答案]

A

[解析]

本题考查了复数的乘法及复平面内的点与复数的一一对应关系.

i(2－i)＝2i－i＝1＋2i对应的点(1,2)位于第一象限．

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