小结名师教学设计1

复数章末复习

1.复数的有关概念

(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数. 2.复数集

复数a＋bi,a，b∈R

整数实数b＝0有理数分数无理数无限不循环小数

纯虚数a＝0虚数b≠0非纯虚数a≠0



3.复数的四则运算

若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R) (1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；

(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；

(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；

z1a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2i(4)除法：＝

z2a22＋b22

＝a1a2＋b1b2a2b1－a1b22＋2i(z2≠0)；

a2a22＋b22＋b2(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；

13(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,122＋ω＋ω2＝0. 4.共轭复数与复数的模

(1)若z＝a＋bi，则z＝a－bi，z＋z为实数，z－z为纯虚数(b≠0). (2)复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2，且z·z＝|z|2＝a2＋b2. 5.复数的几何形式

→(1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量OZ表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0). (2)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出→发的向量OZ.

6.复数加、减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义

→→→→若复数z1、z2对应的向量OZ1、OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四边→形的对角线OZ所对应的复数. (2)复数减法的几何意义

→→复数z1－z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数.

题型一

复数的基本概念

5例1

满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚z数z；若不存在，请说明理由.

反思与感悟

复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要

条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法和途径，在两个复数相等的充要条件中，注意当a，b，c，d∈R时，由a＋bi＝c＋di才能推出a＝c且b＝d，否则不成立. 11跟踪训练1

设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z. z4

题型二

复数的四则运算

－23＋i22 0044－8i2－－4＋8i2例2

计算＋. ＋1＋23i1＋i11－7i

反思与感悟

复数四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化.复数的代数运算与实数有密切联系，但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用. 复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化. 在运算的过程中常用的公式有：

(1)i的乘方：i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，

＋＋i4n3＝－i(n∈N*). ＋(2)(1±i)2＝±2i. 13(3)±i3＝－1. 22在解答与复数的模有关的问题时，重视应用下列公式：

(1)z·z＝|z|2＝|z|2. (2)|z1z2…zn|＝|z1||z2|…|zn|，|zn|＝|z|n. z1|z1|(3)z2＝|z2|. 3＋i跟踪训练2

已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－. 1＋i(1)计算复数z；

(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值.

题型三

复数与其他知识的综合应用

例3

已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R). (1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹；

(2)求方程实根的取值范围.

反思与感悟

复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与方程、函数、数列、解析几何等知识的交汇. 跟踪训练3

复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值.

共轭复数的妙用

巧用共轭复数的性质对复数问题进行等价变形、化简，可将复杂的问题变得简单，从而达到事半功倍的效果.共轭复数有以下常见性质：

(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋z＝2a，z－z＝2bi；

(2)(z)＝z；

(3)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2＋b2＝|z|，z·z＝a2＋b2＝|z|2＝|z|2；

(4)z∈R⇔z＝z；非零复数z是纯虚数⇔z＋z＝0；

1z1(5)z1±z2＝z1±z2，z1·z2＝z1·z2，z＝(z2≠0)；

2z2z(6)zn＝(z)n(n∈Z，当n＜0时，要求z≠0). 例4

已知△AOB的三个顶点A，B，O(O为原点)对应的复数分别为z1，z2, 0，若|z1|＝3，|z2|z1＝5，|z1－z2|＝7，则等于(

) z2333A.－±i

1010333C.＋i

1010答案

A 解析

∵|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝7，

∴z1·z1＝9，z2·z2＝25，(z1－z2)(z1－z2)＝49，

∴z1·z1＋z2·z2－z1·z2－z1·z2＝49，

333B.－－i 1010333D.－i 1010zz1z21z1＋9·即z1·z1＋z2·z2－z2·z2z＋＝z1·z1＋z2·z2－z2·z2·z225z1＝49，

2z2z1z2∴9＋25－25·－9·＝49，

z2z1z1233z1＋9＝0，∴z1＝－3±即25＋15i.故选A. z2z2z21010例5

设|z|＝1，求|z2－z＋1|的最大值和最小值. 解

∵z·z＝|z|2＝1，

∴|z2－z＋1|＝|z2－z＋z·z|＝|z||z－1＋z|＝|z－1＋z|. 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z－1＋z|＝|2a－1|. ∵|z|＝1，∴z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，∴－1≤a≤1，∴0≤|2a－1|≤3. ∴|z2－z＋1|的最大值为3，最小值为0.

如果设z＝a＋bi(a，b∈R)，直接代入计算，过程将会很复杂，考虑到z·z＝|z|2，将|z2－z＋1|中的1换成z·z，那么问题变得简单易求.

答案精析

题型探究

例1

解

存在，理由如下：

设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，

5y555x则z＋＝x＋yi＋＝x＋22＋y－x2＋y2i，z＋3＝(x＋3)＋yi. zx＋yix＋y5yy－x2＋y2＝0，由题意得∵y≠0，

x＋3＝－y，22x＋y＝5，x＝－1，x＝－2，∴解得或

x＋y＝－3，y＝－2y＝－1.

∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．

跟踪训练1

解

设z＝x＋yi(x，y∈R)，

11则z＋＝(x＋yi)＋

zx＋yixy＝x＋x2＋y2＋y－x2＋y2i. 1y∵z＋∈R，∴y－22＝0，

zx＋y解得y＝0或x2＋y2＝1. 11x－＋yi是纯虚数，

又∵z－＝441∴x－＝0且y≠0. 4115115∴x＝，y＝±，因此复数z＝±i. 4444i1＋23i221 002例2

解

原式＝＋

1＋23i1＋i＋4－8i＋8i－44－8i＋4－8i

11－7i＝i＋(－i)1 002＋0＝－1＋i. 3＋i1－i4－2i跟踪训练2

解

(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－＝－4－3i－＝－4－3i－(2－i)＝－21＋i1－i6－2i. (2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，

∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，

∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，

22－12a－b＝0，∴

26－4a＋b＝0.

解得a＝3，b＝－14. 例3

解

(1)设实根为t，

则t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)，

即(t2＋2t＋2xy)＋(t＋x－y)i＝0. 根据复数相等的充要条件，

2t＋2t＋2xy＝0，①得

t＋x－y＝0，②

由②得t＝y－x，

代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.③

所以所求的点的轨迹方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2，

轨迹是以点(1，－1)为圆心，2为半径的圆．

(2)由③得圆心为(1，－1)，半径r＝2，

直线t＝y－x与圆有公共点，

|1－－1＋t|从而应有≤2，

2即|t＋2|≤2，

∴－4≤t≤0，

故方程的实根的取值范围是[－4,0]．

跟踪训练3

解

方法一

|z＋3－3i|≥||z|－|3－3i||，

又∵|z＋3－3i|＝3，

|3－3i|＝12＝23，

∴||z|－23|≤3，

即3≤|z|≤33，

∴|z|的最大值为33，最小值为3.

方法二

|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，

则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，

显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，

|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝3.