小结教学评价实录

“基本不等式的应用”教学设计

一、教材分析

（一）本节教材所处的地位和作用

a＋b“基本不等式ab≤2”是普通高中标准实验教科书数学必修5第三章“不等式”的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教学目标

1、知识与技能：进一步掌握基本不等式，构建基本不等式解决函数的最值问题。

2、过程与方法：通过学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法，提高学生的抽象概括能力，通过例题、变式练习的解决树立学生的构造转化思想。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，体会数学基本不等式的工具性，提高学习的兴趣，通过具体问题的解决，增强科学严谨的学习态度。

（三）教学重点、难点。

重点：用基本不等式求解最值问题的思路和基本方法。

难点：基本不等式的使用条件，合理地应用基本不等式．

二、学情分析

我所教的是理科普通班，大部分学生数学基础较差；学生的理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；但学生有学好数学的自信心，有一定的学习积极性。

三、教法分析

（－）教学方法

为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标，课前下发学案，课上采用合作探究式学习．其中，在探索结论时，采用发现法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．

（二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用多媒体和实物投影辅导教学．

四、教学过程设计

（一）、复习回顾

a＋b1.基本不等式ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：__________. (2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．

2．利用基本不等式求最值问题

已知a＞0，b＞0，则

(1)如果积ab是定值p，那么当且仅当_________时，a＋b有最小值是______(简记：“积定和最小”)．

(2)如果和a＋b是定值s，那么当且仅当__________时，ab有最大值是__________(简记：“和定积最大”)．

3.利用基本不等式求最值的条件：__________。

师：提问。

生：口答。

师：强调“一正、二定、三相等”

1

设计意图：通过复习知识点让学生对即将用到的知识点有个清楚的认识，进一步强化“基本不等式”的使用条件。

（二）自主小测，判断正误

本部分包括三个辨析题，题目的安排分别对应“一正，二定，三项”让学生分别从特定的角度强化使用基本不等式求最值的条件。

1

（1）f(x)x的最小值为2. x （2）已知x0，f(x)x211x2x21x2x，当且仅当x2x

,即x1时“”成立。1

（3）已知x2，f(x)xx的最小值为2。

（三）课堂互学

探究任务一：

本部分包含一个例题一个练习，例题为最基本的利用基本不等式求最值的问题，而练习在原例题的基础上改变条件，让学生对比，区分寻找解决问题的办法。

例1：已知x0，求f(x)x1x1的最值。

练1：已知x0，求f(x)xx的最值。

师：例1随机找学生回答

生：回答问题并说出解题过程。

师：板书过程，点评并表扬或引导改正，再次强调“一正，二定，三相等”。

师：练习1，老师引导，学思考，找学生板书过程。 生：看该生的解题过程并指出正误。

师：点评并表扬或引导改正，再次强调“一正，二定，三相等”。 设计意图：通过一个例题和一个练习让学生学会当式子中值为负时要“化正”，并强调解题步骤三步走“一正，二定，三相等”。

探究任务二：

本部分包括一个例题，一个练习，可随机改变练习构造多个变式，题目的安排本着由简单到复杂，层层递进的原则，而问题的解决恰是一个互逆的过程，即由复杂到简单，步步转化的过程。

例2: 已知x1，求f(x)x1的最小值。

x11的最小值。

x2练2：已知x-2，求fxx

生：自主思考，解决疑难

2

师：随机找学生回答，进行指导。并引导思考练习的解题思路。

生：自主思考解决问题。

师：选择一人，投影展示答题结果，并解答其他同学的疑问

师：点评并表扬，随机改变数字形成变式，总结这组题型为“构造积为定值”

设计意图：通过一个例题两个个变式让学生对构造积为定值求最值题型理解。

探究任务三：

本部分包括一个例题，一个练习，题目的安排本着由简单到复杂，层层递进的原则，而问题的解决恰是一个互逆的过程，即由复杂到简单，步步转化的过程。

例3：已知0x1，求f（x)x(1x)的最大值。

练3：已知0x1，求fxx12x的最大值。

2生：自主思考，解决疑难

师：找学生回答。

生：一元二次函数给定区间求最值的方法求最值。

师：点评并表扬，继续引导学生从应用基本不等式的角度求最值。

生：讨论，口答

师：改变数据，形成变式让学生口答，总结这组题型为构造和为定值求最值同时说明应用一元二次函数给定区间求最值也是正确的，在具体问题中都可使用。

设计意图：通过一个例题多个变式让学生对构造和为定值求最值题型理解。

探究任务四：

本部分包括一个例题，题目的安排本着让学生学会当“三相等”不能满足时，要用函数的知识来求解。

1例4：已知x2，求f(x)x的最小值。

x师：引导学生，找到问题的不同点。

生：自由表达见解。

师：引导学生使用对勾函数单调性求解函数最值。

生：画出对勾函数图像，找到定义域，并找出函数最小值。

探究设计意图：

通过四个例题及三组练习，让学生掌握获得

“基本不等式”条件的基本方法，同时提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的化归思想

（四）当堂检测 课堂检测

1、已知x0，求f(x)x4x的最大值。

2、已知0x1，求fxx33x的最大值。

设计意图：检验学生的学习效果。

（五）课堂小结

1、利用基本不等式求最值的使用条件：一正，二定，三相等。

3

2、在具体问题中常用的解题方法：化正，构造定值，利用对勾函数的单调性。

3、培养学生的归纳、概括能力及对问题进行反思的习惯，使学生系统地巩固所学知识。

思考题：已知x0,，f(x)sinx2的最小值。

sinx

设计感想：

以上就是我对本节课教学的总体设计，遵照以学生为主体，教师为主导的原则，努力营造一个宽松、和谐、生动的学生气氛，以更好地提高教育教学的质量，达到师生共同学习，共：同进步的目的。

4

3.4基本不等式的应用

【教学目的】

1、知识与技能：进一步掌握基本不等式，构建基本不等式解决函数的最值问题。

2、过程与方法：通过学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法，提高学生的抽象概括能力，通过例题、变式练习的解决树立学生的构造转化思想。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，体会数学基本不等式的工具性，提高学习的兴趣，通过具体问题的解决，增强科学严谨的学习态度。

【教学重点】

用基本不等式求解最值问题的思路和基本方法。

【教学难点】

基本不等式的使用条件，合理地应用基本不等式。

【教学过程】

1、复习回顾

2、自主小测，判断正误。

（1）f(x)x1x的最小值为2. 12x212x，当且仅当 （2）已知x0，f(x)x21xxx2x

,即x1时“”成立。1

（3）已知x2，f(x)xx的最小值为2。

3、课堂互学

例1：已知x0，求f(x)x

练1：已知x0，求f(x)x

1x的最值。

1x的最值。

5

例2: 已知x1，求f(x)x

1的最小值。

x1练2：已知x-2，求fxx

1的最小值。

x2例3：已知0x1，求f（x)x(1x)的最大值。

练3：已知0x

例4：已知x2，求f(x)x

4、随堂检测

1、已知x0，求f(x)x11，求fxx12x的最大值。

2x的最小值。

4x的最大值。

2、已知0x1，求fxx33x的最大值。

思考题：已知x0,，f(x)sinx2的最小值。

sinx6