二 用数学归纳法证明不等式教学实录及点评

第一章

推理与证明

课 题：§4

数学归纳法

教学目标：

1.知识与能力 （1）再次了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

（2）复习巩固理解数学归纳法原理。

（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。

（4）会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。

2.过程与方法

（1）通过对归纳法的复习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力

和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感态度与价值观

（1）通过对数学归纳法原理的复习探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。

（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。

教学重难点：

1.重

点：

（1）理解数学归纳法的原理。

（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（3）会用数学归纳法证明简单的命题。

2.难

点：

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

教学方法：类比启发探究式教学方法

教学过程：

（一）、复习引入：

⑴复习提问：什么叫归纳推理？其特点是什么？

由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。有时我们也叫它归纳法。特点：特殊→一般。

归纳推理分为不完全归纳与完全归纳两种：

不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。由不完全归纳法得到的结论的正确性有待证明。

完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。

⑵引入：

贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，

那么有(1＋x)n> . 在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？ 提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现： (1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时， 有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)． (2)当α是实数，并且满足0<α<1时，用(1＋x)α≤1＋αx

(x>－1)．

（二）新授：

⑴数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当nk(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当nk1命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法。

⑵数学归纳法的基本原理：即先验证使结论成立的最小的正整数n0，如果当nn0时，命题成立，再假设当nk(kN*，k≥n0)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当nk1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n01，n02，…，命题都成立。

即第二步是说明命题的正确性对n而言具有递推性，而第一步是说明这种递推是有基础的。

⑶用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

第一步：证明当n取第一个值n0结论正确；

第二步：假设当nk(kN*，k≥n0)时结论正确，证明当nk1时结论也正确，下结论：由1，2可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

（三）、应用：

例1

已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，

11231nnn求证：S2>1＋(n≥2，n∈N＋)．

2

（应在黑板上严格按数学归纳法的证题步骤书写过程，给学生一个表率！证明过

程略）

例2证明不等式：

111

1＋＋＋…＋<2n(n∈N*)．

23n观察，发现规律，对于探索性命题，特别是数列的问题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思维过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种发现真理的方法。

（再次给出严格的解题过程）

例3（补充例题）用数学归纳法证明：(3n1)7n1,(nN)能被9整除。

分析：用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩下的式子也能被某式（或数）整除，拼凑是关键。要充分体会“凑”的思想方法。

证：略

例4用数学归纳法证明：(1a)n1na

（其中a1，

nN）

（四）、练习：P19练习

（五）、小结（师生共同完成）

1.数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。

2.用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。

3.证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标，然后利用假设“凑”出目标。

4.书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；

（六）、作业：

（七）、板书设计：略

（八）、教学反思：