三 排序不等式教学设计实例

§3.3 排序不等式

学习目标：

知识目标：1、了解排序不等式的基本形式；

2、了解特殊到一般的数学思想。

方法目标：1、会运用排序不等式分析解决一些简单问题；

2、掌握“发现规律---归纳、猜想----证明”的数学定理发现方法；

情感目标：1、体会运用经典不等式的一般思想方法；

2、了解排序不等式在现实生活中的应用，做到学以致用。

重难点：1、理解并掌握排序不等式；

2、如何利用排序不等式解决生活中的实际问题和证明一些不等式。

学情分析：学生已经学习了一些不等式以及排列组合的知识，了解不等式的基本证明方法，并且有一定的生活常识和数学计算能力，为本节课的学习奠定了基础。由于学生的数学基础一般，因此排序不等式定理的证明过程在理解上可能存在困难，故本节课不涉及定理的证明。有兴趣的同学进行自学，不懂的地方可以问老师。

教学过程

1.情境引入：国庆节长假期间，达瓦和父母一起报名参加“雪山连北京”旅行团去首都北京旅游。在旅游即将结束的时候，达瓦想用自己的零花钱给自己的爷爷、两个姨妈和三个好朋友分别买一样纪念品。达瓦看中了三样纪念品：鸟巢明信片（10元/张）、天坛模型（15元/个）和长城纪念册（25元/本）。

在父母的建议下，达瓦决定采取以下的买纪念品方案：1、不同辈分的纪念品不同；2、相同辈分的纪念品相同。

达瓦如何买纪念品花钱最少？如何买花钱最多？

分析：这个实际生活问题可以转化为一个数学问题：

已知两组数1，2，3和10,15,25,将10，15，25分别填入下面的空格中，

1× +2× +3× =

则所得的结果最大值是 ,最小值是 . 计算过程：1×10+2×15+3×25=115 1×10+2×25+3×15=105

1×15+2×10+3×25=110 1×15+2×25+3×10=95

1×25+2×10+3×15=90 1×25+2×15+3×10=85

本题通过计算可知共有 个不同的和数 。比较所得的 个结果可得答案.

2、思考：如果数大一点呢?

已知两组数2，3，4和45,25,30,若将45，25，30分别填入下面的空格，

2× +3× +4× =

则所得的结果最大值是 ,最小值是 .

1 / 4

对

应

关

系

2,

3,

4 25, 30, 45 2,

3,

4 25, 45, 30 2,

3,

4 30, 25, 45 2,

3,

4 30, 45, 25 2,

3,

4 45, 25, 30 2,

3,

4 45, 30, 25 和

S1=2×25+3×30+4×45=

S2=2×25+3×45+4×30=

S3=2×30+3×25+4×45=

S4=2×30+3×45+4×25=

S5=2×45+3×25+4×30=

S6=2×45+3×30+4×25=

备

注

顺序和

乱序和

乱序和

乱序和

乱序和

反序和

发现结论：

3、定义：一般地，设有两组实数：a1,a2,a3,…,an与b1,b2,b3,…,bn,且它们满足:a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn,若c1,c2,c3,…,cn是b1,b2,b3,…,bn的任意一个排列,则和Sa1c1acancn称为数组22(a1,a2,a3,…,an)和(b1,b2,b3,…,bn)的乱序和,其中按相同顺序相乘所得积的和S2a1b1a2b2anbn称为顺序和，按相反顺序相乘所得积的和S1a1bna2bn1

anb1称为反序和..根据直觉你可以得什么不等式?

b4、猜想:和数a1c1a2c2ancn在a1,a2,a3,…,an与b1,b2,b3,…,n

时最大,

时最小a1b1a2b2anbn≥a1c1a2c2ancn≥a1bna2bn1anb1,等号当且仅当a1a2,即an或b1b2bn时成立.

即

5、定理(排序不等式, 又称排序原理):设a1a2

c1,c2,c,,任意一个排列, 则

n是b1b,2,bn的an,b1b2bn为两组数,

anbn. a1bna2bn1a3bn2

anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2a3b3bn时, 等号成立.

当且仅当a1a2排序不等式的应用：

6、例题讲解与练习

an,或b1b2

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例1.

5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

分析:这是一个实际问题,需要将它数学化,即转化为数学问题.

设第i一个接水的人需要ti分钟,则5人都接满水所需的等待总时间是

S5t14t23t32t4t5

根据排序不等式可知，要使总和最小，则应使t1,t2,t3,t4,t5按照 排列。

练习、若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？

例2、已知abcd,证明a2b2c2d2abbccdda

例3、证明a2b2c2abbcca

练习、1、用排序不等式证明重要不等式：ab2ab

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7、课堂小结

一、排序不等式

二、排序不等式的应用

1、生活中的应用——节省时间、合理决策

2、证明不等式——注意顺序，如果具有对称性，可以假设一个顺序。

三、数学定理的一种发现过程：

发现规律归纳、猜想证明8、作业

（A层）1、若

a



b



c

,

x



y



z

，则下列代数式中值最大的是（

A．aybxcz

B．azbycx

C．azbxcy

D．axbycz

2、对a,b,cR

, 比较a3b3c3与a2bb2cc2a的大小。

（B层）1、

已知a,bR，求证：abbaab

提示：

ab0ab0011

ab

2、思考：例3还有哪些证明方法？

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）