2.基本不等式教学设计(第二课时)

基本不等式（第三课时）教学设计

绵阳南山中学实验学校

伍敏

课型：新授课

课时：第3课时

学情分析：

（1）

从学生的知识层面看：学生对均值不等式的形式和性质已经有了初步的了解，能够运用均值不等式解决一些简单的应用性问题。

（2）从学生素质层面看：所任教的班级的学生具有较好的逻辑思维能力，能够尝试自主的分析问题解决问题。

教学分析：

均值不等式也称基本不等式．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．选考部分的不等式的证明也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为3课时完成，前两课时仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第三课时重在均值不等式的灵活运用．本节主要目标是使学生在了解均值不等式的基础上，加深学生对均值不等式的理解．并能灵活运用均值不等式解决较为复杂的问题，能够正确使用均值不等式的变形式ab(ab22);ab22ab;2(a2b2)(ab)2，并能2

清楚它们的适用情况和范围。

三维目标：

1．通过本节学习，使学生较为熟练的掌握均值不等式及其变式的准确运用，

2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，让学生学会利用已知条件和求解结果之间的联系解决问题，强化联系的思想。渗透“联系”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．

3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯． 重点难点：

教学重点：从不同角度探索均值不等式的运用；用不等式求解某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．

教学难点：学会选择四个不等式准确快速的解题，学会用“联系”的思想去思考解决问题。

教学过程：

提出问题：1.均值不等式的内容是什么？

2.

均值不等式有哪些变形式？

3.

完成下面几个小题。

运用实例：

例题：若x,yR,且1，求xy的最小值。

解法一：x0,y0

828y2x8y2xxy(xy)()10102.18

xyxyxy8x2y当且仅当8y2x82时取等号，又1，即x12,y6时成立。

xyxy变式一：若x,yR,且2x8yxy0，求xy的最小值。

解法二：2x8yxy0得y(x8)2x,x0,y0,x80,y令uxyxx82x

x82x1616(x8)102(x8).1018当且仅当

x8x8x816即x12,y6时成立。

x8变式二：若x,yR，且xyxy3，求（1）xy的范围；（2）xy的范围。

解：（1）x,yR，xyxy332xy,xy2xy30，

(xy3)(xy1)0,xy3,即xy9

(xy)2,(xy)24(xy)120

（2）x,yR，xy3xy4(xy6)(xy2)0,xy6

变式三：若x,yR,x2y2xy4，求（1）xy的范围；（2）xy的范围。

解：（1）x,yR,x2y2xy4又x2y22xy，x2y2xy2xyxyxy

xy4

(xy)24（2）x,yR,xyxy4，(xy)3xy4,xy

3222(xy)2(xy)24(xy)2(xy)2164xy4

又xy434课堂小结：学生归纳总结均值不等式及其变式在解题中的运用。

作业：（1）已知两个正数x,y满足x4y5xy，则xy取最小值时，x,y的值分别是

、

。

（2）已知a0,b0且ab2,若Sa2b22ab，则S的最大值为

。

设计感想：

从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，但是在学生的操作过程中，总是有很多同学知道解题需要用到均值不等式，但不能准确选用基本不等式和它的相关变式，不清楚它的取等要求，选不对要么方向走错，要么不能取得等号，所以强化学生用联系的观点去思考解决问题是对学生能力培养中很重要的一环，故而有了这一课时的设想。