小结第二课时教案

课题

教学目标

教学重点

教学难点

学具

学法指导

个案(修改交流) 基本不等式复习课

1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题

会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

多媒体

启发引导，讲练结合。

教学过程设计(共案) 自主学习

知识点一

基本不等式及变形

2思考

使用基本不等式证明：≤ab(a>0，b>0)，并说明什么时候等11＋ab号成立．

1111ab答案

∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，∴≤，

abab112＋ab211即≤ab(a>0，b>0)，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．

11ab＋ab梳理

以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成针对课程内容的特点，采立的条件．

用学生自学，小组交流，a＋ba2＋b22当a>0，b>0时，有≤ab≤≤

；

1122教师讲解与引导结合的教＋ab学方式。针对学生的实际当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立．

需要，分析通项公式的求知识点二

用基本不等式求最值

法，注意班级学生的水平。

思考

因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2. 以上说法对吗？为什么？

答案

错．显然(x2＋1)min＝1.x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．仅说明抛物线y＝x2＋1 恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．

如果都不是定值，可能出错．

梳理

基本不等式求最值的条件：

(1)x，y必须是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值；

(3)等号成立的条件是否满足．

合作探究

探究一

基本不等式与最值

4例1

(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；

x3(2)设0

24(3)已知x>2，求x＋的最小值；

x－219(4)已知x>0，y>0，且

＋＝1，求x＋y的最小值．

xy444解

(1)当x>0时，x＋≥2 x·＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2xxx时取等号．

4∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4. x3(2)∵00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－22x＋－2x292x)]≤22＝2. 3330，. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈44239∴函数y＝4x(3－2x)(02，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2 x－＋x－2x－2x－22＝6，

44当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为x－2x－26. 1919y9x＋(x＋y)＝＋＋10≥6(4)方法一

∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝xyxyxy＋10＝16，

y9x19当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．

xyxy故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 1919方法二

由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．由＋＝1可知x>1，y>9，

xyxy∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2x－y－＋10＝16，

当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，

故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 反思与感悟

在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．

探究二

基本不等式在实际问题中的应用

命题角度1

几何问题的最值

例2

(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解

(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.

x＋y≥xy，可得x＋y≥2100，2(x＋y)≥40.当且仅当x＝y＝10时等号2成立．

所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m. (2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2. x＋y18由xy≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．

22所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2. 反思与感悟

利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．

命题角度2

生活中的最优化问题

例3

某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

解

设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．

由题意可知，面粉的保管及其他费用为

3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．设平均每天所支付的总费用为y元，

1900900则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2 9x·＋10 xxx809＝10 989(元)，

900当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．

x所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

引申探究

若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？

900900解

设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1＜x2.则(9x1＋＋10 809)－(9x2＋＋x1x210 809) 900119x1x2－900. 9－＝9(x1－x2)＋900(－)＝(x1－x2)＝(x－x)12x1x2x1x2x1x29x1x2－900∵15≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞225，∴(x1－x2)x1x2＜0，

900即y＝9x＋＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．

x∴当x＝15，即每15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少．

反思与感悟

应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．

四、跟踪训练

12训练1

(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；

x4(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；

x－3(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

121212解

(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2·3x＝12，当且仅当3x＝，即xxxx由

＝2时取等号，

∴f(x)的最小值为12. (2)∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝4＝－3－x＋3－x＋3≤－244＋x＝＋x－3＋3 x－3x－34－x＋3＝－1，

3－x4当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1. 3－x(3)方法一

由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.∵x>0，y>0，∴x－8>0，2xy＝，

x－8x－＋162x16∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2 x－8x－8x－816x－＋10＝18. x－816当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18. x－882方法二

由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1. xy828y2x8y2x＋＝＋＋10≥2 ∴x＋y＝(x＋y)·＋10＝18. xyxyxy8y2x当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．∴x＋y的最小值是18. xy训练2

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？

4 800解

设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为

m. 3x又设水池总造价为y元，根据题意，得

4 8004 800x＋1 600

y＝150×＋120×(2×3x＋2×3×)＝240 000＋720×x33x1 600≥240 000＋720×2 x·＝297 600(元)，

x1 600当且仅当x＝，即x＝40时，y取得最小值297 600. x所以当水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元．

训练3

一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已v2知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于20千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．

答案

8 解析

设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则

v2400＋162040016v40016vt＝＝＋≥2 ×＝8(小时)，

vv400v40040016v当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到Bv400市，最快需要8小时．

五、自主小测

51．已知0

log2x

x2－4x＋552．已知x≥，则f(x)＝有(

) 22x－455A．最大值

B．最小值

24C．最大值1

D．最小值1 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(

) A．6.5 m

B．6.8 m C．7 m

D．7.2 m 11k4．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等aba＋b于(

) A．0

B．4 C．－4

D．－2

参考答案

1.答案

2－25 解析

当0

－log2x2.答案

D 1x2－4x＋5x－2＋11x－＋解析

f(x)＝＝＝x－2≥1.当且仅22x－4x－1当x－2＝，即x＝3时等号成立．

x－23.答案

C 1解析

设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2＝2，

∴ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．

因为要求够用且浪费最少，故选C. 4.答案

C －a＋b2a＋b2ba11k解析

由＋＋≥0，得k≥，而＝＋＋2≥4，

aba＋babababa＋b2当且仅当a＝b时，等号成立，所以－≤－4，

aba＋b2因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－ab4.故选C.

（1）a11,an1(n1)an,求an.

（2）a11,an13an2,求an.

（3）a11,anan1(n2),求an.

2an11